第 章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节 平面向量的概念及线性运算
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双基自主测评 题型分类突破 课时分层训练
[考纲传真] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含 义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌 握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运 算的性质及其几何意义．
(对应学生用书第 57 页) [基础知识填充]
1．向量的有关概念 (1) 向 量 ： 既 有 _大__小_ 又 有 _方__向_ 的 量 叫 做 向 量 ， 向 量 的 大 小 叫 做 向 量 的 _长__度__(_或__模__) __． (2)零向量：_长__度__为__0_的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于_1_个__单__位__的向量． (4)平行向量：方向_相__同__或__相__反__的非零向量．平行向量又叫_共__线__向__量__．规定： 0与任一向量_平__行__． (5)相等向量：长度_相__等__且方向_相__同__的向量． (6)相反向量：长度_相__等__且方向_相__反__的向量．
2．向量的线性运算
向量 运算
定义
求两个向量和的运 加法
算
法则 (或几何意义)
运算律
三角形法则 平行四边形法则
(1)交换律： a＋b＝_b_＋__a_； (2)结合律： (a＋b)＋c＝_a_＋__(b_＋__c_)
求 a 与 b 的相反向量
减法 －b 的和的运算叫做
a－b＝a＋(－b)
a 与 b 的差
三角形法则
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当 λ>0 时，λa 的方向与 a λ(μa)＝_λ_μ_a_； 数乘 求实数 λ 与向量 a 的 的方向相同；当 λ<0 时，λa (λ＋μ)a＝λ_a_＋__μ_a___；
积的运算 的方向与 a 的方向相反；当 λ(a＋b)＝λ_a_＋__λ_b___
λ＝0 时，λa＝_0_
3. 共线向量定理
向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ，使得_b_＝__λ_A__．
[知识拓展] 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个
向量终点的向量，即A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An→－1An＝A→1An，特别地，一个封 闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则O→P＝12(O→A＋O→B)． 3.O→A＝xO→B＋yO→C(x，y 为实数)，若点 A，B，C 共线，则 x＋y＝1. 4．△ABC 中，P→A＋P→B＋P→C＝0?点 P 为△ABC 的重心．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )
(2)若 a∥b，b∥c，则 a∥C．( )
(3)a∥b 是 a＝λb(λ∈R)的充要条件．( )
(4)△ABC 中，D 是 BC 的中点，则A→D＝12(A→C＋A→B)．(
)
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(2015·全国卷Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点，B→C＝3C→D，则( )
A．A→D＝－13A→B＋43A→C
B．A→D＝13A→B－43A→C
C．A→D＝43A→B＋13A→C
D．A→D＝43A→B－13A→C
A [A→D＝A→C＋C→D＝A→C＋13B→C＝A→C＋13(A→C－A→B)＝43A→C－13A→B＝－13A→B＋43
A→C.故选 A．]
3．(2018·长春模拟)设点 P 是△ABC 所在平面内一点，且B→C＋B→A＝2B→P，则P→C＋ P→A＝________. 0 [因为B→C＋B→A＝2B→P，由平行四边形法则知，点 P 为 AC 的中点，故P→C＋ P→A＝0.]
4．(教材改编)已知?ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且O→A＝a，O→B＝b， 则D→C＝________，B→C＝________(用 a，b 表示)． b－a －a－b [如图，D→C＝A→B＝O→B－O→A＝b－a，
B→C＝O→C－O→B＝－O→A－O→B＝－a－B．]
5．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线，则 λ＝________. －13 [由已知得 a＋λb＝－k(b－3a)，
∴?????λ3＝k＝－1k，， 得?????kλ＝＝－13. 13，
]
(对应学生用书第 58 页) 平面向量的有关概念 给出下列六个命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； ②若A→B＝D→C，则 ABCD 为平行四边形； ③若 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； ④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线；
⑤λa＝0(λ 为实数)，则 λ 必为零；
⑥a，b 为非零向量，a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥B．
其中假命题的序号为________. 【导学号：00090124】 ①②③④⑤⑥ [①不正确．|a|＝|b|.但 a，b 的方向不确定，故 a，b 不一定是 相等或相反向量； ②不正确．因为A→B＝D→C，A，B，C，D 可能在同一直线上，所以 ABCD 不一 定是四边形．
③不正确．两向量不能比较大小． ④不正确．当 λ＝μ＝0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 λa＝μb，但 a 与 b 不一定共线． ⑤不正确．当 λ＝1，a＝0 时，λa＝0. ⑥不正确．对于非零向量 a，b，a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a，b 同向．]
[规律方法] 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利 用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法. 2．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行 向量)和相等向量均与向量的起点无关． 3．若 a 为非零向量，则|aa|是与 a 同向的单位向量，－|aa|是与 a 反向的单位向 量．
[变式训练 1] 设 a0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；②
若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，
假命题的个数是 ( )
A．0
B．1
C．2
D．3
D [向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，
故①是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二
是反向，反向时 a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3.]
平面向量的线性运算
(1)(2018·开封模拟)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中
点，则E→B＋F→C＝( )
A．B→C C．A→D
B．12A→D D．12B→C
(2)(2018·广州模拟)在梯形 ABCD 中，AD∥BC，已知 AD＝4，BC＝6，若C→D＝
mB→A＋nB→C(m，n∈R)，则mn ＝(
)
A．－3
B．－13
C．13
D．3
(1)C (2)A [(1)如图，E→B＋F→C＝E→C＋C→B＋F→B＋B→C ＝E→C＋F→B＝12(A→C＋A→B) ＝12·2A→D＝A→D. (2)如图，过 D 作 DE∥AB，C→D＝mB→A＋nB→C＝C→E＋E→D ＝－13B→C＋B→A，
所以 n＝－13，m＝1，所以mn ＝－3.故选 A．]
[规律方法] 向量的线性运算的求解方法 (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶 点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来 求解． (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用 三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转 化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
[变式训练 2] (1)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD
所在平面内任意一点，则O→A＋O→B＋O→C＋O→D等于( )
A．O→M
B．2O→M
C．3O→M
D．4O→M
(2)(2018·北京模拟)在△ABC 中，点 M，N 满足A→M＝2M→C，B→N＝N→C.若M→N＝xA→B
＋yA→C，则 x＝________；y＝________. 【导学号：00090125】
(1)D
1 (2)2
－16
[(1)因为 M 是 AC 和 BD 的中点，由平行四边形法则，得O→A
＋O→C＝2O→M，O→B＋O→D＝2O→M，所以O→A＋O→B＋O→C＋O→D＝4O→M.故选 D．
(2)由题中条件得，M→N＝M→C＋C→N＝13A→C＋12C→B＝13A→C＋12(A→B－A→C)＝12A→B－16
A→C＝xA→B＋yA→C，所以 x＝12，y＝－16.]
共线向量定理的应用 设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1)若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)，求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线．
[解] (1)证明：∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)， ∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5A→B. ∴A→B，B→D共线，又∵它们有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线．
(2)∵ka＋b 和 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，
即 ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)B．
∵a，b 是两个不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
[规律方法] 共线向量定理的应用 (1)证明向量共线：对于向量 a，b，若存在实数 λ，使 a＝λb，则 a 与 b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数 λ，使A→B＝λA→C，则 A，B，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
[变式训练 3] (1)已知向量A→B＝a＋3b，B→C＝5a＋3b，C→D＝－3a＋3b，则( )
A．A，B，C 三点共线
B．A，B，D 三点共线
C．A，C，D 三点共线
D．B，C，D 三点共线
(2)(2015·全国卷Ⅱ)设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ
＝________.
(1)B
1 (2)2
[(1)∵B→D＝B→C＋C→D＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2A→B，∴B→D，A→B共线，
又有公共点 B，
∴A，B，D 三点共线．故选 B．
(2)∵λa＋b 与 a＋2b 平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，
即 λa＋b＝ta＋2tb，∴?????λ1＝＝t2，t， 解得?????tλ＝＝1212.，
]
再见