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【配套K12】四川省成都市2016-2017学年高二数学下学期5月月考试卷 文(含解析)

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2016-2017 学年四川省成都市高二(下)5 月月考数学试卷(文科)

一、选择题

1.点 M 的柱坐标为(4, ,4),则它的直角坐标为( )

A.(﹣6, 4)

,4) B.(2,

,4) C.(﹣6,﹣

,4) D.(﹣6,

2.i 为虚数单位,则( )2011=( )

A.﹣i B.﹣1 C.i D.1

3.已知函数 f(x)=2ln(3x)+8x,则

的值为( )

A.10 B.﹣10 C.﹣20 D.20 4.y=4cosx﹣e|x|图象可能是( )

,﹣

A.

B.

C.

D.

5.已知数列{an}满足:点(n,an)(n∈N*)都在曲线 y=log2x 的图象上,则 a2+a4+a8+a16=( ) A..9 B.10 C.20 D.30 6.f(x)=x3+ax+ 在( ,+∞)是增函数,求 a 取值范围( )

A.(﹣ ,+∞) B. B.R

围为



C.ex,若 x=0 是 f(x)的一个极大值点,则实数 a 的取值范

三、计算题 17.某厂商调查甲、乙两种不同型号电视在 10 个卖场的销售量(单位:台),并根据这 10 个 卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂 商将销售量高于数据*均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场” (1)求在这 10 个卖场中,甲型号电视机的“星级卖场”的个数; (2)若在这 10 个卖场中,乙型号电视机销售量的*均数为 26.7,求 a>b 的概率.

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18.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥BC,顶点 A1 在底面 ABC 内的射影恰好是 AB 的中点 O, 且 AB=BC=2.OA1=2, (1)求证:*面 ABB1A1⊥*面 BCC1B1; (2)求直线 A1C 与*面 ABC 所成的角的余弦值.

19.已知函数

,其中 k∈R 且 k≠0.

(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 k=1 时,若存在 x>0,使 1nf(x)>ax 成立,求实数 a 的取值范围. 20.{an}数列的前 n 项和 Sn 符合 Sn=k(2n﹣1)且 a3=8, (1)求{an}通项公式; (2)求{nan}的前 n 项和 Tn.

21.已知椭圆方程为: + =1(a>b>0)过点 P(0,1),且离心率 e= .

(1)求椭圆方程;

(2)过原点的直线交椭圆于 B,C 两点,A(1, ),求△ABC 面积最大值.

22.选修 4﹣4:坐标系与参数方程

已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角



(1)写出直线 l 的参数方程;

(2)设 l 与圆

(θ 是参数)相交于两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积.

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2016-2017 学年四川省成都市新津中学高二(下)5 月月考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题

1.点 M 的柱坐标为(4,

,4),则它的直角坐标为( )

A.(﹣6,

,4) B.(2,

,4) C .( ﹣ 6 , ﹣

D.(﹣6,

,﹣4)

【考点】QA:柱坐标系与球坐标系.

【分析】根据柱坐标与直角坐标的对应关系计算即可得出答案.

【解答】解:4cos

=2,4sin

=2



∴M 的直角坐标系为(2,2 故选:B.

,4).

,4)

2.i 为虚数单位,则(

)2011=(



A.﹣i B.﹣1 C.i D.1 【考点】A7:复数代数形式的混合运算.

【分析】由复数的运算公式,我们易得

=i,再根据 in 的周期性,我们易得到(



2011 的结果.

【解答】解:∵

=i

∴( 故选 A

)2011=i2011=i3=﹣i

3.已知函数 f(x)=2ln(3x)+8x,则



值为( ) A.10 B.﹣10 C.﹣20 D.20 【考点】62:导数的几何意义;61:变化的快慢与变化率.

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【分析】利用导数的定义与运算法则即可得出. 【解答】解:函数 f(x)=2ln(3x)+8x, ∴f′(x)= +8, ∴f′(1)=10, ∴

2 故选:C

=﹣2f′(1)=﹣20,

4.y=4cosx﹣e|x|图象可能是( )

=﹣

A.

B.

C.

D.
【考点】3O:函数的图象. 【分析】判断函数的奇偶性,计算函数与 y 轴的交点坐标即可判断出答案. 【解答】解:显然 y=4cosx﹣e|x|是偶函数,图象关于 y 轴对称,排除 A,C; 又当 x=0 时,y=4﹣1=3>0,排除 B, 故选 D.
5.已知数列{an}满足:点(n,an)(n∈N*)都在曲线 y=log2x 的图象上,则 a2+a4+a8+a16=( ) A..9 B.10 C.20 D.30 【考点】8G:等比数列的性质. 【 分 析 】 由 题 意 可 得 an =log2n , 利 用 对 数 的 运 算 性 质 化 简 a2+a4+a8+a10 =log22+log24+log28+log216,从而求得结果. 【解答】解:由题意可得 an =log2n,∴a2+a4+a8+a10 =log22+log24+log28+log216=1+2+3++4=10, 故选 B. 教育配套资料 K12

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6.f(x)=x3+ax+ 在( ,+∞)是增函数,求 a 取值范围( ) A.(﹣ ,+∞) B. B.R C., 综上原不等式的解集为(2,+∞)∪(﹣∞,0]. 故选 A

8.f(n)=

+…

则( )

A.f(n)中有 n 项,且 f(2)= +

B.f(n)中有 n+1 项,且 f(2)= + +

C.f(n)中有 n2+n+1 项,且 f(2)= + +

D.f(n)中有 n2﹣n+1 项,且 f(2)= + +

【考点】RG:数学归纳法. 【分析】根据各项分母的特点计算项数,把 n=2 代入解析式得出 f(2). 【解答】解:f(n)中的项数为 n2﹣n+1,

f(2)=



故选 D.

9.已知一个三棱锥的三视图如下图所示,其中俯视图是顶角为 三棱锥外接球的表面积为( )

的等腰三角形,则该

A.20π B.16π C.8π D.17π 【考点】L!:由三视图求面积、体积. 教育配套资料 K12

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【分析】作出几何体的三视图,建立空间坐标系,求出外接球的球心,从而得出半径,再计 算面积. 【解答】解:作出几何体的直观图如图所示:

由三视图可知底面 ACD 是等腰三角形,∠ACD=

,AD=2



BC⊥*面 ACD,BC=2,

取 AD 的中点 E,连接 CE,则 CE⊥AD,

以 E 为原点,以 AD 为 x 轴,以 EC 为 y 轴,以*面 ACD 的垂线为 z 轴建立空间直角坐标系 E

﹣xyz,

则 A(﹣

,0,0),B(0,1,2),C(0,1,0),D(

,0,0),

设三棱锥的外接球的球心为 M(x,y,z),则 MA=MB=MC=MD.

∴(x+

)2+y2+z2=x2+(y﹣1)2+(z﹣2)2=x2+(y﹣1)2+z2=(x﹣

)2+y2+z2,

解得 x=0,y=﹣1,z=1.

∴外接圆的半径 r=MA=

=



∴外接球的表面积 S=4π r2=20π .

故选:A.

10.y=2sin(

)﹣

+ 在 x∈R 上有零点,记作 x1,x2,…xn,求

x1+x2+…+xn=( ) A.16 B.12 C.20 D.﹣32 【考点】H2:正弦函数的图象.

【分析】根据函数 y 有零点,令 y=0,即 2sin(

)=

﹣ ,转化

为函数 f(x)=sin(

)与 y=

﹣ 图象的交点问题.利用图象即

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可求解. 【解答】解:由题意,函数 y 有零点,令 y=0,即 2sin(

转化为函数 f(x)=sin( 函数 f(x)的周期 T=12.

)与 g(x)=

)=

﹣,

﹣ 图象的交点问题.

从图象可以看出,函数 f(x)与 g(x)只有 3 个交点.

即函数 y=2sin(

)﹣

+ 只有 3 个零点,

∴x1=﹣5,x2=4,x3=13, 那么:x1+x2+x3=12. 故选:B.

11 . 定 义 在 ( 0 , + ∞ ) 上 的 单 调 递 减 函 数 f ( x ), 若 f ( x ) 的 导 函 数 存 在 且 满 足

,则下列不等式成立的是( )

A.3f(2)<2f(3) B.3f(4)<4f(3) C.2f(3)<3f(4) D.f(2)<2f(1) 【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.

【分析】依题意,f′(x)<0,

?

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>0? [

]′<0,利用 h(x)=

为(0,+∞)上的单调递减函数即可得

到答案. 【解答】解:∵f(x)为(0,+∞)上的单调递减函数, ∴f′(x)<0,

又∵

>x,



>0?

<0?

[

]′<0,

设 h(x)=

,则 h(x)=

为(0,+∞)上的单调递减函数,

∵ ∴f(x)<0. ∵h(x)=

>x>0,f′(x)<0, 为(0,+∞)上的单调递减函数,





?

(3)>3f(2),故 A 正确; 由 2f(3)>3f(2)>3f(4),可排除 C; 同理可判断 3f(4)>4f(3),排除 B; 1?f(2)>2f(1),排除 D; 故选 A.

>0?2f(3)﹣3f(2)>0?2f

12.若函数 f(x)=x2+ex﹣ (x<0)与 g(x)=x2+ln(x+a)图象上存在关于 y 轴对称的

点,则 a 的取值范围是( )

A.(﹣

) B.(

) C .(



D.(



【考点】3O:函数的图象.

【分析】由题意可得 ex0﹣ ﹣ln(﹣x0+a)=0 有负根,函数 h(x)=ex﹣ ﹣ln(﹣x+a)

为增函数,由此能求出 a 的取值范围. 【解答】解:由题意可得: 教育配套资料 K12

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存在 x0∈(﹣∞,0),满足 x02+ex0﹣ =(﹣x0)2+ln(﹣x0+a),

即 ex0﹣ ﹣ln(﹣x0+a)=0 有负根,

∵当 x 趋*于负无穷大时,ex0﹣ ﹣ln(﹣x0+a)也趋*于负无穷大,

且函数 h(x)=ex﹣ ﹣ln(﹣x+a)为增函数,

∴h(0)=e0﹣ ﹣lna>0,

∴lna<ln



∴a<



∴a 的取值范围是(﹣∞,

),

故选:A

二、填空题 13.已知向量

=(k,12),

=(4,5),

=(﹣k,10),且 A、B、C 三点共线,

则 k=



【考点】9K:*面向量共线(*行)的坐标表示;I6:三点共线.

【分析】利用三点共线得到以三点中的一点为起点,另两点为终点的两个向量*行,利用向

量*行的坐标形式的充要条件列出方程求出 k.

















, ∴ 又 A、B、C 三点共线 故(4﹣k,﹣7)=λ (﹣2k,﹣2) ∴k= 故答案为

14 . 已 知 Z 是 复 数 , |Z ﹣ 2+i|=

, 则 |z| 的 取 值 范 围 [



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].

【考点】A8:复数求模.

【分析】由题意画出图形,求出圆心到原点的距离,数形结合得答案.

【解答】解:|Z﹣2+i|=

的几何意义为复*面内动点 Z 到定点 P(2,﹣1)的距离为

的轨迹,

如图:

∵|OP|=



∴|z|的最小值为

取值范围为[

故答案为:[

,最大值为





].



].

15.化极坐标方程 ρ 2cosθ ﹣ρ =0 为直角坐标方程为 x2+y2=0 或 x﹣1=0 . 【考点】Q8:点的极坐标和直角坐标的互化. 【分析】由极坐标方程 ρ 2cosθ ﹣ρ =0 可得 ρ =0 或 ρ cosθ ﹣1=0,再利用极坐标与直角坐 标的互化公式即可得出. 【解答】解:由极坐标方程 ρ 2cosθ ﹣ρ =0 可得 ρ =0 或 ρ cosθ ﹣1=0, ρ =0 表示原点 O(0,0). 由 ρ cosθ ﹣1=0,化为 x﹣1=0. 综上可知:所求直角坐标方程为 x2+y2=0 或 x﹣1=0.

16.已知函数 f(x)=ex,若 x=0 是 f(x)的一个极大值点,则实数 a 的取值范围为 (2,+ ∞) . 【考点】6D:利用导数研究函数的极值. 【分析】求导数得到 f′(x)=﹣xex,容易判断方程 x2+(2+a)x+a﹣2=0 有两个不同实数根,
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并设 g(x)=x2+(2+a)x+a﹣2,根据题意便可得到 g(0)>0,从而便可得出实数 a 的取值 范围. 【解答】解:解:f′(x)=﹣xex; 令 x2+(2+a)x+a﹣2=0,则△=a2+12>0; 设 g(x)=x2+(2+a)x+a﹣2,∵x=0 是 f(x)的一个极大值点; ∴g(0)>0; 即 a﹣2>0; ∴a>2; ∴实数 a 的取值范围为(2,+∞). 故答案为:(2,+∞).
三、计算题 17.某厂商调查甲、乙两种不同型号电视在 10 个卖场的销售量(单位:台),并根据这 10 个 卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂 商将销售量高于数据*均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场” (1)求在这 10 个卖场中,甲型号电视机的“星级卖场”的个数; (2)若在这 10 个卖场中,乙型号电视机销售量的*均数为 26.7,求 a>b 的概率.

【考点】CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;BA:茎叶图. 【分析】(1)由茎叶图和*均数的定义可得,即可得到符合“星际卖场”的个数. (2)记事件 A 为“a>b”,由题意和*均数可得 a+b=8,列举可得 a 和 b 的取值共 9 种情况, 其中满足 a>b 的共 4 种情况,由概率公式即可得到所求答案. 【解答】解:(1)根据茎叶图,

得甲组数据的*均数为:

(10+10+14+18+22+25+27+30+41+43)=24,

由茎叶图,知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为 5. (2)记事件 A 为“a>b”, ∵乙组数据的*均数为 26.7,

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=26.7,

解得 a+b=8.∴a 和 b 取值共有 9 种情况,它们是: (0,8 ),(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1),(8,0), 其中 a>b 有 4 种情况,它们是:(5,3),(6,2),(7,1),(8,0),

∴a>b 的概率 P(A)= .

18.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥BC,顶点 A1 在底面 ABC 内的射影恰好是 AB 的中点 O, 且 AB=BC=2.OA1=2, (1)求证:*面 ABB1A1⊥*面 BCC1B1; (2)求直线 A1C 与*面 ABC 所成的角的余弦值.

【考点】MI:直线与*面所成的角;LY:*面与*面垂直的判定. 【分析】(1)根据 A1O⊥*面 ABC 可得 A1O⊥BC,结合 AB⊥BC 即可得出 BC⊥*面 ABB1A1,于是 *面 ABB1A1⊥*面 BCC1B1; (2)由 A1O⊥*面 ABC 可知∠A1CO 是直线 A1C 与*面 ABC 所成的角,计算 OC,A1C,从而得出 cos∠A1CO. 【解答】(1)证明:∵A1O⊥*面 ABC,BC? *面 ABC, ∴A1O⊥BC, 又 BC⊥AB,A1O∩AB=O,A1O? *面 ABB1A1, AB? *面 ABB1A1, ∴BC⊥*面 ABB1A1, 又 BC? *面 BCC1B1, ∴*面 ABB1A1⊥*面 BCC1B1. (2)解:∵A1O⊥*面 ABC, ∴∠A1CO 是直线 A1C 与*面 ABC 所成的角, 教育配套资料 K12

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∵OB= AB=1,BC=2,AB⊥BC,

∴OC=



又 A1O=2,∴A1C=3,

∴cos∠A1CO=

=



19.已知函数

,其中 k∈R 且 k≠0.

(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 k=1 时,若存在 x>0,使 1nf(x)>ax 成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6B:利用导数研究函数的单调性. 【分析】(1)求导函数,对 k 讨论,利用导数的正负,可得函数的单调区间;

(2)分离参数,构造新函数,g(x)=

(x>0),存在 x>0,使 1nf(x)>

ax 成立,等价于 a<g(x)max,由此可求实数 a 的取值范围.

【解答】解:(1)函数的定义域为 R,求导函数可得 f′(x)=

当 k<0 时,令 f′(x)>0,可得 x<0 或 x>2;令 f′(x)<0,可得 0<x<2 ∴函数 f(x)的单调增区间为(﹣∞,0),(2,+∞),单调减区间为(0,2); 当 k>0 时,令 f′(x)<0,可得 x<0 或 x>2;令 f′(x)>0,可得 0<x<2 ∴函数 f(x)的单调增区间为(0,2),单调减区间为(﹣∞,0),(2,+∞);

(2)当 k=1 时,

,x>0,1nf(x)>ax 成立,等价于 a<

设 g(x)=

(x>0)

存在 x>0,使 1nf(x)>ax 成立,等价于 a<g(x)max,

,当 0<x<e 时,g′(x)>0;当 x>e 时,g′(x)

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<0 ∴g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减 ∴g(x)max=g(e)=

∴a<



20.{an}数列的前 n 项和 Sn 符合 Sn=k(2n﹣1)且 a3=8,

(1)求{an}通项公式;

(2)求{nan}的前 n 项和 Tn.

【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.

【分析】(1)由已知取得 k 值,得到首项与前 n 项和,再由 an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)求得数列通项

公式;

(2)利用错位相减法求{nan}的前 n 项和 Tn. 【解答】解:(1)由 Sn=k(2n﹣1),得 a1=S1=k,

a3=S3﹣S2=7k﹣3k=4k=8,

∴k=2.

则 Sn=k(2n﹣1)=2n+1﹣2.





n



2







a1=2 适合上式,





(2)nan=n?2n,









两式作差得:

=







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21.已知椭圆方程为:

+

=1(a>b>0)过点 P(0,1),且离心率 e=



(1)求椭圆方程;

(2)过原点的直线交椭圆于 B,C 两点,A(1, ),求△ABC 面积最大值.

【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.

【分析】(1)由题意知,e=

,b=1,a2﹣c2=1,由此能求出椭圆的标准方程.

(2)设直线 l 的方程与椭圆 C 联立,C(x1,y1),B(x2,y2),利用弦长公式求出 CB,A 到 CB 的距离,然后求解三角形的面积,求出最大值即可.

【解答】解:(1)由题意知,e=

,b=1,a2﹣c2=1,…

解得 a=2,

所以椭圆的标准方程为

.…

(2)由题意知,直线 l 的斜率存在时,直线 l:y=kx. 设直线 l 与椭圆交于 C(x1,y1),B(x2,y2)两点,



得可得 (4k2+1)x2﹣4=0,x1+x2=0,x1x2=



|CB|=

|x1﹣x2|=



A 到 CB 的距离为:d=



∴ △ ABC 面 积 s=

|CB| × d=

×

= ∵k+ ≥2 或 k+ ≤﹣2,当且仅当 k= 所以当 k=﹣ 时,△ABC 面积最大值 2.

. 时取等号.

=

×

22.选修 4﹣4:坐标系与参数方程 教育配套资料 K12

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已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角



(1)写出直线 l 的参数方程;

(2)设 l 与圆

(θ 是参数)相交于两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点

的距离之积. 【考点】QG:参数的意义;QJ:直线的参数方程;QK:圆的参数方程.

【分析】(1)利用公式和已知条件直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角

,写出其极

坐标再化为一般参数方程; (2)先将曲线的参数方程化成普通方程,再将直线的参数方程代入其中,得到一个关于 t 的 二次方程,最后结合参数 t 的几何意义利用根与系数之间的关系即可求得距离之积.

【 解 答 】 解 :( 1 ) 直 线 的 参 数 方 程 为

,即



(2)由(1)得直线 l 的参数方程为

曲线的普通方程为 x2+y2=4.

把直线的参数方程代入曲线的普通方程,得

t2+(

+1)t﹣2=0,

∴t1t2=﹣2,

∴点 P 到 A,B 两点的距离之积为 2.

(t 为参数).

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