北京 101 中学 2018－2019 学年上学期高二年级期中考试
数学试卷
一、选择题共 10 小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1.已知向量 a=（8， 1 x，x），b=（x，1，2），其中 x > 0 .若 a∥b，则 x 的值为（ ）
2
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】
【分析】
根据两个向量平行并结合两个向量平行的等价条件，得到两个向量的横坐标、纵坐标和竖坐标分别相等，
由此可得到 l 和 x 的值．
【详解】∵
a?
∥
? b
且
x
>
0
，
∴向量
a?,
? b
共线同向，
∴存在实数
λ>0，使得
a?
=
l
? b
，
即 (8, 1 x, x) = l (x,1, 2) = (l x, l , 2l ) ， 2
ì ? ? ∴í ? ???
l x =8
1 x=l 2 x = 2l
ì? ，解得 í
??
l =2
．
x =4
故选 A．
【点睛】本题考查两向量共线的等价条件极其应用，考查计算能力，属于基础题．
x2
2.双曲线
-
y2
=1 的焦点坐标为（
）
34
A. （±l，0） 【答案】B 【解析】 【分析】
B. （± 7 ，0）
C. （± 5 ，0）
D. （±4，0）
先确定双曲线焦点的位置，然后根据曲线方程得到实半轴和虚半轴的值，进而得到半焦距的值，由此可得 焦点坐标．
【详解】由题意得双曲线的焦点在 x 轴上，且 a2 = 3, b2 = 4 ，
∴ c = a2 +b2 = 7 ，
∴双曲线的焦点坐标为 (± 7, 0) ．
故选 B． 【点睛】判断双曲线的焦点位置时，要看曲线方程中变量的正负，焦点在正的项对应的变量所在的轴上，
然后再根据 c2 = a2 +b2 求出半焦距后可得焦点的坐标． 3.直线 x +2 y - 5 + 5 = 0 被圆 x2 + y2 - 2x - 4 y = 0 截得的弦长为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 4 6
【答案】C 【解析】
( ) ( ) ( ) 因为 x2 + y2 - 2x - 4 y = 0 化为 x - 1 2 + y - 2 2 = 5 ，可知圆的圆心为 1, 2 ,半径为 5 ，圆心到直线
1+2? 2 - 5 + 5
x +2 y - 5 + 5 = 0 的距离为 d =
=1 ，由勾股定理可得直线 x +2 y - 5 + 5 = 0 被圆
5
x2 + y2 - 2x - 4 y = 0 截得的弦长为 2 5 - 1 = 4 ，故选 D .
视频
( ) ( ) ( ) ( ) 4.已知圆 O1 ： x +1 2 + y - 1 2 =1 与圆 O2 ： x - 3 2 + y +2 2 = r2 (r > 0) 相内切，那么 r 等于（
）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 13
【答案】C 【解析】 【分析】
根据两圆相内切得到圆心距和两半径间的关系，由此可得所求 r 的值． 【详解】由题意得 O1O2 = (3 +1)2 +(- 2 - 1)2 = 5 ．
∵圆 O1 和圆 O2 相内切，
∴ O1O2 = r - 1 ，即 r - 1 = 5 ， 解得 r = 6 或 r = - 4 （舍去）．
故选 C． 【点睛】本题考查两圆位置关系的运用，当两圆相内切时，两圆的圆心距等于两半径之差，同时也考查数 形结合的应用．
5.直线 l : y = kx +1与圆 O : x2 + y2 =1 相交于 A, B 两点，则"k =1" 是“ DOAB 的面积为 1 ”的（ ） 2
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】
试题分析：由 k =1时,圆心到直线 l : y = x +1 的距离 d =
2
.所以弦长为
2 .所以
2
SDOAB
=
1? 2
2 ? 2 = 1 .所以充分性成立,由图形的对成性当 k = - 1 时, DOAB 的面积为 1 .所以不要性不
22
2
成立.故选 A. 考点：1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.
视频
6.抛物线 y = - 4x2 的焦点坐标为（ ）
A. （0，－1） 【答案】B
B. （0， - 1 ） 16
C. （0， - 1 ） 4
【解析】
【分析】
将抛物线的方程化为标准形式后可得焦点坐标．
【详解】由题意得抛物线的标准方程为 x2 = - 1 y ， 4
∴焦点在 y 轴的负半轴上，且 2 p = 1 ， 4
D. （ - 1 ，0） 4
∴p= 1 ， 2 16
∴抛物线 y = - 4x2 的焦点坐标为 (0, - 1 ) ． 16
故选 B．
【点睛】本题考查抛物线的基本性质，解题的关键是把曲线方程化为标准形式，然后得到相关参数，进而
得到所求，属于基础题．
x2 7.已知双曲线 a2
-
y2 b2
=1 （a>0，b>0）的一条渐近线方程是 y =
3x ，它的一个焦点在抛物线
y2 = 24x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A. x2 - y2 =1 108 36
B. x2 - y2 =1 36 108
C. x2 - y2 =1 27 9
D. x2 - y2 =1 9 27
【答案】D 【解析】
【分析】
由双曲线的渐近线方程为 y = 3x 可得 b = 3 ，即 b = 3a ，由此可得 c = 2a ，故双曲线的焦点为 a
(± 2a, 0) ．再由题意得到抛物线的准线方程为 x = - 6 ，故得 a = 3, b = 3 3 ，于是可得曲线方程．
x2
【详解】由
a2
-
y2 b2
= 0 ，得 y = ± b a
x ，即为双曲线的渐近线方程，
又双曲线的一条渐近线方程是 y = 3x ， ∴ b = 3 ， b = 3a ，
a ∴ c = a2 +b2 = 2a ，
∴双曲线的焦点坐标为 (± 2a, 0) ．
又抛物线 y2 = 24x 的准线方程为 x = - 6 ，双曲线的焦点在抛物线的准线上， ∴ 2a = 6 ，
∴ a = 3,b = 3 3 ，
x2
∴双曲线的方程为
-
y2
=1．
9 27
故选 D．
【点睛】（1）已知双曲线的标准方程求其渐近线方程时，可把等号后的“1”改为“0”，变形为一次的形式
后即为渐近线的方程．
（2）解答本题的关键是理清条件中各个量间的关系，求出双曲线方程中的参数 a, b 的值．
8.正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，平面 A1BD 与平面 ABCD 所成角的正切值为（ ）
A. 2
2
B.
2
C. 3
3
D.
3
【答案】A 【解析】
【分析】
画出图形，作出所求的角，然后通过解三角形得到正切值．
【详解】如图，连 AC ，交 BD 于 O ，则 O 为 BD 的中点，连 OA1, OA ．
∵ABCD－A1B1C1D1 是正方体，
∴ AD = AB, A1B = A1D ， ∴ AO ^ BD, A1O ^ BD ， ∴? A1OA 即为平面 A1BD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角． 在 Rt?A1AO 中，? A1AO = 90° ，
设正方体的棱长为 a ，则 AO =
2 a，
2
∴
tan?
A1 AO
=
A1 A AO
=
a= 2a
2，
2
∴平面 A1BD 与平面 ABCD 所成角的正切值为 2 ．
故选 A． 【点睛】解答类似问题的关键是作出两平面所成角的平面角，将空间问题转化为平面问题求解，再通过解 三角形的方法得到所求角（或其三角函数值），考查作图能力和计算能力，属于中档题． 9.正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，平面 A1B1C1D1 内的一动点 P，满足到点 A1 的距离与到线段 C1D1 的距离 相等，则线段 PA 长度的最小值为（ ）
2
A.
2
3
B.
2
5
C.
2
D. 2
【答案】C 【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，由题意得点 P 在以点 A1 为焦点、以 C1D1 为准线的抛物线上，由此可得点 P 坐标间的 关系，然后根据空间中两点间的距离公式求解可得结果．
【详解】如图，以 A1D1 的中点 O1 为原点，以 A1D1 为 x 轴建立如图所示的空间直角坐标系 O1 - xyz ， 则 A(1 , 0,1) ．
2
由于动点 P 到点 A1 的距离与到线段 C1D1 的距离相等， 所以点 P 在以点 A1 为焦点、以 C1D1 为准线的抛物线上．
由题意得，在 xOy 平面内，抛物线的方程为 y2 = 2x ， 设点 P 的坐标为 P(x, y, 0) ，则 y2 = 2x ，
所以 PA = (x - 1 )2 + y2 +1 = (x - 1 )2 +2x +1 = (x + 1 )2 +1 ，
2
2
2
又x? 0，
所以当 x = 0 时， PA 有最小值，且| PA |min =
1 +1 =
5
．
4
2
故选 C． 【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式及最值问题，解题的关键有两个：（1）建立空间直角坐标系，并 得到相关点的坐标；（2）根据题意得到点 P 在抛物线上，进而消去一个参数将所求距离化为二次函数的问题 处理． 10.若存在直线 l 与曲线 C1 和曲线 C2 都相切，则称曲线 C1 和曲线 C2 为“相关曲线”，有下列四个命题：
①有且只有两条直线 l 使得曲线 C1： x2 + y2 = 4 和曲线 C2： x2 + y2 - 4x +2 y +4 = 0 为“相关曲线”；
②曲线 C1： y = 1 x2 +1 和曲线 C2： y = 1 x2 - 1 是“相关曲线”；
2
2
③当 b>a>0 时，曲线 C1： y2 = 4ax 和曲线 C2： (x - b)2 + y2 = a2 一定不是“相关曲线”；
④必存在正数 a 使得曲线 C1： y = ax2 +2x +2 和曲线 C2： x2 + y2 =1为“相关曲线”.其中正确命题 2
的个数为（ ）
A. 1 B. 2 【答案】C 【解析】
C. 3
D. 4
【分析】
根据“相关曲线”的定义，只需判断每个命题中的两条曲线是否有公切线即可，若有公切线，则为“相关
曲线”，否则则不是．
【详解】对于①，由题意得曲线 C1 是以(0,0)为圆心，2 为半径的圆；曲线 C2 是以(2,?1)为圆心，半径
为 1 的圆．两圆的圆心距为 C1C1 = 5 ，由于1 < C1C1 < 3 ，故两圆相交，因此有两条外公切线，故①正
确． 对于②，由题意得曲线 C1，C2 是共轭双曲线（它们各自在 x 轴上方的部分），具有相同的渐近线，因此两 曲线没有公切线，故②不正确． 对于③，因为 b>a>0，在同一坐标系内画出两曲线，如下图中的图形．
由图可得圆在抛物线的内部，所以两曲线不会有公切线，故③正确．
对于④，当 a=1 时，曲线 C1： y = x2 +2x +2 = (x +1)2 +1 ，此时直线 y =1与曲线 C1 和曲线 C2 都相切，
故④正确． 综上可得有三个命题正确． 故选 C． 【点睛】解答本题的关键是正确理解题意，并找出两曲线的公切线，解题时要注意对每个结论中两曲线形 状、性质的分析和判定，进而得到两曲线是否有公切线．考查理解和运用知识解决问题的能力．
二、填空题，共 6 小题. 11.已知⊙M： x2 - 4x + y2 = 0 ，则⊙M 的半径 r=____________. 【答案】 2
【解析】 【分析】 把圆的一般方程化为标准方程后可得圆的半径．
( ) 【详解】由题意得圆的标准方程为 x - 2 2 + y2 = 4 ， ( ) 所以该圆的圆心为 2, 0 ，半径为 2 ．
故答案为 2 ．
【点睛】本题考查圆的一般方程和标准方程间的转化，考查变形能力和辨识能力，属于简单题． 12.如图所示，正方体 ABCD－A'B'C'D'的棱长为 1，线段 B'D'上有点 H，满足 D'H=1，则异面直线 DH 与 CC' 所成角的大小为___________.
【答案】 45?
【解析】 【分析】
根据两异面直线所成角的定义得到?D?DH 即为所求的角（或其补角），结合条件在 RtDD?DH 求解可得所
求．
【详解】如图，因为 D?D ? C?C ， 所以?D?DH 即为异面直线 DH 与 CC'所成的角（或其补角）． 在 RtDD?DH 中，?DD?H = 90°, DD?= D?H =1， 所以?D?DH = 45° ， 所以异面直线 DH 与 CC'所成的角为 45? ． 故答案为 45? ．
【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，解题的关键是根据定义作出两直线所成的角，同时还应注意两 异面直线所成角的范围，这一点在解题中容易被忽视．
13.已知椭圆 x2 + y2 =1焦点为 F1，F2，P 为椭圆上一点，则△F1PF2 的周长为__________. 42
【答案】 4 +2 2
【解析】 【分析】 结合图形根据椭圆的定义求解即可得到三角形的周长．
【详解】由题意得 a = 2, b = c = 2 ．
∵P 为椭圆上一点，
∴ PF1 + PF2 = 2a = 4 ， ∴△F1PF2 的周长为 PF1 + PF2 + F1F2 = 4 +2 2 ．
故答案为 4 +2 2 ．
【点睛】椭圆上的点和两焦点构成的三角形称为焦点三角形，解决有关焦点三角形的问题时往往要用到椭
圆的定义，然后再结合正弦、余弦定理等知识求解，解题时注意整体代换（即椭圆定义）的应用．
14.若向量
a?
= (1, l
? , 2),b
= (-
2,1,1)
，且
a?,
? b
夹角的余弦值为
1
，则
l
=__________.
6
【答案】1
【解析】
【分析】
根据向量的数量积得到关于 l 的方程，解方程可得所求的值．
【详解】∵ a?
= (1, l
? , 2),b
= (-
2,1,1)
，
∴ a? =
? l 2 +5, b =
6．
又
a?,
? b
夹角的余弦值为
1
，
6
∴
a?
? ×b
=
-
2
+
l
+2 =
l 2 +5?
6?
1
，
6
整理得 l 2 =1，
解得 l = ± 1．
当l
=
-
1时，
a?
? ×b
=
-
1
，不合题意，舍去．
当l
=
1
时，
a?
? ×b
=1
，符合题意．
∴l =1．
故答案为 1．
【点睛】本题考查空间向量数量积的应用，解题时根据数量积的两种表示方法得到关于参数的方程，求解
后可得所求．本题也可直接根据夹角的求法得到关于参数的方程后求解．
15.若椭圆 W： x2 + y2 =1的离心率是
6
，则 m=___________.
2m
3
【答案】 2 或 6 3
【解析】 【分析】
按照椭圆的焦点在 x 轴和在 y 轴上两种情况分别求解，可得所求结果． 【详解】①当椭圆的焦点在 x 轴上时，则有 a = 2, c = 2 - m ，
由题意得
2- m =
6
，
23
解得 m = 2 ． 3
②当椭圆的焦点在 y 轴上时，则有 a = m, c = m - 2 ，
由题意得
m- 2 =
6
，
m3
解得 m = 6 ． 综上可得 m = 2 或 m = 6 ．
3 故答案为 2 或 6 ．
3
【点睛】解答本题的关键有两个：一个是注意分类讨论思想方法的运用，注意椭圆焦点所在的位置；二是
解题时要分清椭圆方程中各个参数的几何意义，然后再根据离心率的定义求解．
16.如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a，b（0<a<b），原点 O 为 AD 的中点，抛物线 y2 = 2 px( p > 0) 经过 C，F 两点，则 a =__________.
b
【答案】 2 +1
【解析】
(?- a)2 = 2 p×a
试题分析：由题意 C( a , - a), F ( a +b, b) ，代入抛物线方程得：{
2，
2
2
b2 = 2 p(a +b)
2
因为 a
> 0,b > 0, p > 0 ，消去
a p 得： b2
=
1 ，化简整理得： a2 a +2b
+2ab -
b2
= 0 ，即
( b )2 +2 b - 1 = 0 ，解得： b = 2 +1，故填 2 +1．
aa
a
考点：1．抛物线的标准方程；2．齐次方程的求解．
视频
三、解答题共 4 小题，共 40 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.已知抛物线 C： y2 = 4x 的焦点为 F，直线 l：y= x - 2 与抛物线 C 交于 A，B 两点.
（1）求 AB 弦长； （2）求△FAB 的面积.
【答案】（1） 4 6 ；（2） 2 3 .
【解析】
【分析】
（1）利用代数方法，根据弦长公式求解；（2）在（1）的基础上，再求出点 F 到直线 AB 的距离，最后根据三
角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）由 ì?í ??
y = x - 2,
消去
y2 = 4x
y
整理得 x2
-
8x +4
=0，
其中 D= 64 - 4? 4 = 48 > 0 ，
设 A（ x1 ， y1 ），B（ x2 ， y2 ）.
则 x1 + x2 = 8 ， x1 ×x2 = 4 .
( ) 所以 x1 - x2 = x1 + x2 2 - 4x1x2 = 4 3 ，
所以 AB = 1+12 × x1 - x2 = 2 ? 4 3 = 4 6 .
（2）由题意得点 F（1，0），
1- 2
故点 F 到直线 AB 的距离 d =
=
2
，
22
所以 SDABF
= 1 × AB ×d 2
= 1? 2
4
6?
2 =2 3. 2
即△FAB 的面积为 2 3 ．
【点睛】直线和圆锥曲线相交所得的弦长即为两交点间的距离，解题时可根据弦长公式求解，由于涉及到 大量的运算，所以解题中要注意“设而不求”和“整体代换”等方法的运用，以减少运算量，提高解题的 效率和准确程度． 18.如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，平面 A1AB⊥平面 A1BC，且 AH⊥A1B 交线段 A1B 于点 H，AB=BC=2，CC1=3.点 M 是棱 CC1 的中点.
（1）证明：BC⊥平面 A1AB； （2）求直线 MB 与平面 A1BC 所成角的正弦值.
6 13
【答案】（1）详见解析；（2）
65
【解析】 【分析】 （1）由平面 A1AB⊥平面 A1BC，且 AH⊥A1B 可得 AH⊥平面 A1BC，于是得 AH⊥BC；再根据直三棱柱可得 BC⊥B1B，于是可得 BC⊥平面 ABB1A1，即 BC⊥平面 A1AB；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和 直线的方向向量，利用向量的夹角可求出线面角的正弦值． 【详解】（1）因为平面 A1AB⊥平面 A1BC，平面 A1AB∩平面 A1BC=A1B，AH⊥A1B， 所以 AH⊥平面 A1BC．
又 BC ? 平面 A1BC，
所以 AH⊥BC．
因为 ABC－A1B1C1 为直三棱柱， 所以 AA1⊥BC． 又 AA1∩AH=A， 所以 BC⊥平面 ABB1A1， 即 BC⊥平面 A1AB． （2）由 BC⊥平面 ABB1A1 可得 BC⊥AB， 所以 BA, BC, BB1 两两垂直． 以 B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 B-xyz，
3 则 B(0, 0, 0),C(2, 0, 0), A1(0, 2,3), M (2, 0, 2) ,
所以
????? BM
=
(2,
0,
3
)
.
2
设平面 A1BC 的法向量为 n? = (x, y, z) ，
由
ì?í ??
n? n?
???? ×?B?C?? ×BA1
= (x, y, z)×(2, 0, 0) = (x, y, z)×(0, 2,3)
= 2x =2y
=0 +3z
=
0
，得
ì ? í ? ?
x y
=0 =-
3 2
z
，
令 z = 2 得 n? = (0, - 3, 2) ．
设直线 MB 与平面 A1BC 所成的角为q ，
则 sinq =
cos
n?,
????? BM
n?
????? ×BM
=
n?
????? ×BM
=
3 1+ 9 ?
4
=6
13
，
65
13
6 13
即直线 MB 与平面 A1BC 所成角的正弦值为
．
65
【点睛】利用向量法求线面角时，可利用平面的法向量和直线的方向向量来求，即设平面的法向量为 n? ，
?
直线的方向向量为 l ，直线与平面所成的角为q ，则 sinq =| cos
n?,
????? BM
．解题时注意向量的夹角和直线
与平面所成角之间的关系． 19.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，O 为 AD 中点，
AB=1，AD=2，AC=CD= 5 .
（1）证明：直线 AB∥平面 PCO； （2）求二面角 P－CD－A 的余弦值； （3）在棱 PB 上是否存在点 N，使 AN⊥平面 PCD，若存在，求线段 BN 的长度；若不存在，说明理由.
2
23
【答案】（1）详见解析；（2） ；（3） .
3
3
【解析】
【分析】
（1）根据条件 AC=CD 可得 CO ^ AD ，又 AB⊥AD，所以 AB∥CO，然后根据线面平行的判定定理可得结论；
（2）以 O 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 PCD 和平面 ABCD 的法向量，根据两向量的夹角求解可得所
求余弦值；（3）假设存在点 N 满足条件，设出点 N 的坐标，根据直线 AN 的方向向量和平面 PCD 的法向量平
行可得结论．
【详解】（1）因为 AC=CD，O 为 AD 中点，
所以 CO ^ AD ．
又 AB⊥AD，
所以 AB∥CO，
又 AB ?平面 PCO，CO ? 平面 PCO，
所以 AB∥平面 PCO．
（2）因为 PA=PD，
所以 PO⊥AD.
又因为 PO ? 平面 PAD，平面 PAD⊥平面 ABCD，
所以 PO⊥平面 ABCD.
因为 CO ? 平面 ABCD，
所以 PO⊥CO. 因为 AC=CD，所以 CO⊥AD.
如图建立空间直角坐标系 O－ xyz .
则 A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，1）.
设平面 PCD 的法向量为 n? = (x, y, z) ，
则
ì? í ??
nn??××??PP??DC????
= 0, = 0,
，得
ì?í ??
-y 2x
-
z z
= 0, = 0.
'
令 z=2，则 n? = (1, - 2, 2) ．
???? 又平面 ABCD 的法向量为 OP =（0，0，1），
? ???? 所以 cos n,OP
= n??×O????P???? = n OP
2 =2. 1+4+4 3
由图形得二面角 P - CD - A 为锐角， 所以二面角 P - CD - A 的余弦值为 2 ．
3
（3）假设存在点 N 是棱 PB 上一点，使得 AN⊥平面 PCD，
???? ????
则存在 l ∈[0，1]使得 BN = l BP = l (- 1, - 1,1) = (- l , - l , l )，
???? ???? ????
因此 AN = AB +BN =(1, 0, 0) +(- l , - l , l ) =(1- l , - l , l ) .
由（2）得平面 PCD 的法向量为 n? = (1, - 2, 2) .
因为 AN⊥平面 PCD，
所以
???? AN
∥
n?
，即
1
-
l
=-l
=l
.
1 -2 2
解得 l
2
= ∈[0，1]，
3
所以存在点 N 是棱 PB 上一点，使 AN⊥平面 PCD，此时 BN = 2 BP = 2
3
.
3
3
【点睛】（1）用向量法求二面角时，先求出两平面法向量的夹角，再通过观察图形得到二面角为锐角还是钝
角，最后才能得到结论．
（2）解决立体几何中的探索性问题时，一般先假设存在满足条件的元素（点或线），然后以此作为条件进行
推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立．
20.平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M（
2 ，1）和点 N（
2
，
7
）都在椭圆 C：
22
x2 a2
+ y2 b2
=1(a > b > 0) 上.
（1）求椭圆 C 的方程及其离心率 e；
（2）已知 O 是坐标系原点，一条直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，与 y 轴正半轴交于点 P，令
???? ???? ???? ???? t = OA×OB + PA×PB .试问：是否存在定点 P，使得 t 为定值.若存在，求出点 P 的坐标和 t 的值；若不
存在，请说明理由.
( ) 【答案】（1） x2 + y2 =1， e = 2 ；（2） P 0,1 ， t = - 3 .
42
2
【解析】 【分析】
（1）将点 M,N 的坐标代入椭圆方程，求出 a, b 的值后可得椭圆方程，进而可得离心率；（2）由题意直线
l 的斜率存在，设其方程为 y = kx +m ，代入椭圆方程后消元得到关于 x 的二次方程，结合根与系数的关
( )( ) ???? ???? ???? ???? m2 - 1 2k 2 +5
系得到 t= OA×OB + PA×PB =
1+2k 2
- 3 ，故得当 m2 =1时 t 为定值，并可求出点 P 的坐标．
【详解】（1）因为点 M（
2 ，1）和点 N（
2
，
2
7 ）在椭圆 x2 + y2
2
a2 b2
=1上，
ì ? 所以 ?í ? ??
2 a2
+1 b2
=1
ì? ，解得 í
1 2a2
+7 4b2
=1
??
a2 b2
=4
，
=2
所以椭圆 C 的方程为 x2 + y2 =1． 42
又 c = a2 - b2 = 2 ，
所以离心率 e =
2
.
2
（2）由题意得直线 l 的斜率存，设直线 l 的方程为 y = kx +m(m > 0) ，
( ) ì
? 由í
? ??
y = kx +m,
x2
+
y2
消去 y =1,
整理得
42
1+2k 2
x2 +4kmx +2m2 - 4 = 0 .
因为直线直线 l 与椭圆交于 A，B 两点， 所以 D= 32k 2 - 8m2 +16 > 0 .（*）
( ) ( ) 设直线 l 与椭圆 C 交于两点 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
则
x1
+ x2
=-
4km 1+2k 2
，
x1x2
=
2m2 - 4 1+2k 2
.
根据条件可知 P（0，m），
???? ???? ???? ????
则 t= OA×OB + PA×PB = (x1, y1)×(x2, y2) +(x1, y1 - m)×(x2, y2 - m) ( ) = 2x1x2 +2 y1 y2 - m y1 + y2 +m2
= 2x1x2 +2(kx1 +m)(kx2 +m) - m(kx1 +m +kx2 +m) +m2
( ) ( ) = 2 +2k 2 x1x2 +km x1 + x2 +m2
( ) =
2 +2k 2
2m2 1+2k
4
2
+
km
???è1-+42kkm2
? ÷÷?+
m2
= 2k 2m2 +5m2 - 8k 2 - 8 1+2k 2
( )( ) m2 - 1 2k 2 +5 - 6k 2 - 3
= 1+2k 2
( )( ) m2 - 1 2k2 +5
= 1+2k 2
- 3.
所以当 m2=1，即 m =1时，（*）式成立，t 为定值－3，
所以直线 l 过定点 P（0，1），此时 t=－3.
【点睛】存在性问题通常采用“肯定顺推法”求解，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的 元素(点、直线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素 (点、直线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．