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北京101中学2018-2019学年上学期高二年级期中考试数学试卷(含精品解析)

发布时间:

北京 101 中学 2018-2019 学年上学期高二年级期中考试

数学试卷

一、选择题共 10 小题.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项 1.已知向量 a=(8, 1 x,x),b=(x,1,2),其中 x > 0 .若 a∥b,则 x 的值为( )
2
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】

【分析】

根据两个向量平行并结合两个向量平行的等价条件,得到两个向量的横坐标、纵坐标和竖坐标分别相等,

由此可得到 l 和 x 的值.

【详解】∵

a?



? b



x

>

0



∴向量

a?,

? b

共线同向,

∴存在实数

λ>0,使得

a?

=

l

? b



即 (8, 1 x, x) = l (x,1, 2) = (l x, l , 2l ) , 2

ì ? ? ∴í ? ???

l x =8
1 x=l 2 x = 2l

ì? ,解得 í
??

l =2

x =4

故选 A.

【点睛】本题考查两向量共线的等价条件极其应用,考查计算能力,属于基础题.

x2
2.双曲线

-

y2

=1 的焦点坐标为(



34

A. (±l,0) 【答案】B 【解析】 【分析】

B. (± 7 ,0)

C. (± 5 ,0)

D. (±4,0)

先确定双曲线焦点的位置,然后根据曲线方程得到实半轴和虚半轴的值,进而得到半焦距的值,由此可得 焦点坐标.
【详解】由题意得双曲线的焦点在 x 轴上,且 a2 = 3, b2 = 4 ,

∴ c = a2 +b2 = 7 ,

∴双曲线的焦点坐标为 (± 7, 0) .
故选 B. 【点睛】判断双曲线的焦点位置时,要看曲线方程中变量的正负,焦点在正的项对应的变量所在的轴上,
然后再根据 c2 = a2 +b2 求出半焦距后可得焦点的坐标. 3.直线 x +2 y - 5 + 5 = 0 被圆 x2 + y2 - 2x - 4 y = 0 截得的弦长为( )

A. 1 B. 2 C. 4 D. 4 6

【答案】C 【解析】
( ) ( ) ( ) 因为 x2 + y2 - 2x - 4 y = 0 化为 x - 1 2 + y - 2 2 = 5 ,可知圆的圆心为 1, 2 ,半径为 5 ,圆心到直线

1+2? 2 - 5 + 5

x +2 y - 5 + 5 = 0 的距离为 d =

=1 ,由勾股定理可得直线 x +2 y - 5 + 5 = 0 被圆

5

x2 + y2 - 2x - 4 y = 0 截得的弦长为 2 5 - 1 = 4 ,故选 D .

视频

( ) ( ) ( ) ( ) 4.已知圆 O1 : x +1 2 + y - 1 2 =1 与圆 O2 : x - 3 2 + y +2 2 = r2 (r > 0) 相内切,那么 r 等于(

A. 4 B. 5 C. 6 D. 13
【答案】C 【解析】 【分析】
根据两圆相内切得到圆心距和两半径间的关系,由此可得所求 r 的值. 【详解】由题意得 O1O2 = (3 +1)2 +(- 2 - 1)2 = 5 .

∵圆 O1 和圆 O2 相内切,
∴ O1O2 = r - 1 ,即 r - 1 = 5 , 解得 r = 6 或 r = - 4 (舍去).
故选 C. 【点睛】本题考查两圆位置关系的运用,当两圆相内切时,两圆的圆心距等于两半径之差,同时也考查数 形结合的应用.
5.直线 l : y = kx +1与圆 O : x2 + y2 =1 相交于 A, B 两点,则"k =1" 是“ DOAB 的面积为 1 ”的( ) 2
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】

试题分析:由 k =1时,圆心到直线 l : y = x +1 的距离 d =

2
.所以弦长为

2 .所以

2

SDOAB

=

1? 2

2 ? 2 = 1 .所以充分性成立,由图形的对成性当 k = - 1 时, DOAB 的面积为 1 .所以不要性不

22

2

成立.故选 A. 考点:1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.
视频

6.抛物线 y = - 4x2 的焦点坐标为( )

A. (0,-1) 【答案】B

B. (0, - 1 ) 16

C. (0, - 1 ) 4

【解析】

【分析】

将抛物线的方程化为标准形式后可得焦点坐标.
【详解】由题意得抛物线的标准方程为 x2 = - 1 y , 4
∴焦点在 y 轴的负半轴上,且 2 p = 1 , 4

D. ( - 1 ,0) 4

∴p= 1 , 2 16
∴抛物线 y = - 4x2 的焦点坐标为 (0, - 1 ) . 16
故选 B.
【点睛】本题考查抛物线的基本性质,解题的关键是把曲线方程化为标准形式,然后得到相关参数,进而
得到所求,属于基础题.

x2 7.已知双曲线 a2

-

y2 b2

=1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y =

3x ,它的一个焦点在抛物线

y2 = 24x 的准线上,则双曲线的方程为( )

A. x2 - y2 =1 108 36

B. x2 - y2 =1 36 108

C. x2 - y2 =1 27 9

D. x2 - y2 =1 9 27

【答案】D 【解析】

【分析】
由双曲线的渐近线方程为 y = 3x 可得 b = 3 ,即 b = 3a ,由此可得 c = 2a ,故双曲线的焦点为 a
(± 2a, 0) .再由题意得到抛物线的准线方程为 x = - 6 ,故得 a = 3, b = 3 3 ,于是可得曲线方程.

x2
【详解】由
a2

-

y2 b2

= 0 ,得 y = ± b a

x ,即为双曲线的渐近线方程,

又双曲线的一条渐近线方程是 y = 3x , ∴ b = 3 , b = 3a ,
a ∴ c = a2 +b2 = 2a ,

∴双曲线的焦点坐标为 (± 2a, 0) .

又抛物线 y2 = 24x 的准线方程为 x = - 6 ,双曲线的焦点在抛物线的准线上, ∴ 2a = 6 ,

∴ a = 3,b = 3 3 ,

x2
∴双曲线的方程为

-

y2

=1.

9 27

故选 D.

【点睛】(1)已知双曲线的标准方程求其渐近线方程时,可把等号后的“1”改为“0”,变形为一次的形式

后即为渐近线的方程.

(2)解答本题的关键是理清条件中各个量间的关系,求出双曲线方程中的参数 a, b 的值.

8.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平面 A1BD 与平面 ABCD 所成角的正切值为( )

A. 2

2
B.
2

C. 3

3
D.
3

【答案】A 【解析】

【分析】

画出图形,作出所求的角,然后通过解三角形得到正切值.

【详解】如图,连 AC ,交 BD 于 O ,则 O 为 BD 的中点,连 OA1, OA .

∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体,
∴ AD = AB, A1B = A1D , ∴ AO ^ BD, A1O ^ BD , ∴? A1OA 即为平面 A1BD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角. 在 Rt?A1AO 中,? A1AO = 90° ,

设正方体的棱长为 a ,则 AO =

2 a,

2



tan?

A1 AO

=

A1 A AO

=

a= 2a

2,

2

∴平面 A1BD 与平面 ABCD 所成角的正切值为 2 .
故选 A. 【点睛】解答类似问题的关键是作出两平面所成角的平面角,将空间问题转化为平面问题求解,再通过解 三角形的方法得到所求角(或其三角函数值),考查作图能力和计算能力,属于中档题. 9.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,平面 A1B1C1D1 内的一动点 P,满足到点 A1 的距离与到线段 C1D1 的距离 相等,则线段 PA 长度的最小值为( )

2
A.
2

3
B.
2

5
C.
2

D. 2

【答案】C 【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系,由题意得点 P 在以点 A1 为焦点、以 C1D1 为准线的抛物线上,由此可得点 P 坐标间的 关系,然后根据空间中两点间的距离公式求解可得结果.

【详解】如图,以 A1D1 的中点 O1 为原点,以 A1D1 为 x 轴建立如图所示的空间直角坐标系 O1 - xyz , 则 A(1 , 0,1) .
2

由于动点 P 到点 A1 的距离与到线段 C1D1 的距离相等, 所以点 P 在以点 A1 为焦点、以 C1D1 为准线的抛物线上.

由题意得,在 xOy 平面内,抛物线的方程为 y2 = 2x , 设点 P 的坐标为 P(x, y, 0) ,则 y2 = 2x ,

所以 PA = (x - 1 )2 + y2 +1 = (x - 1 )2 +2x +1 = (x + 1 )2 +1 ,

2

2

2

又x? 0,

所以当 x = 0 时, PA 有最小值,且| PA |min =

1 +1 =

5


4

2

故选 C. 【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式及最值问题,解题的关键有两个:(1)建立空间直角坐标系,并 得到相关点的坐标;(2)根据题意得到点 P 在抛物线上,进而消去一个参数将所求距离化为二次函数的问题 处理. 10.若存在直线 l 与曲线 C1 和曲线 C2 都相切,则称曲线 C1 和曲线 C2 为“相关曲线”,有下列四个命题:
①有且只有两条直线 l 使得曲线 C1: x2 + y2 = 4 和曲线 C2: x2 + y2 - 4x +2 y +4 = 0 为“相关曲线”;

②曲线 C1: y = 1 x2 +1 和曲线 C2: y = 1 x2 - 1 是“相关曲线”;

2

2

③当 b>a>0 时,曲线 C1: y2 = 4ax 和曲线 C2: (x - b)2 + y2 = a2 一定不是“相关曲线”;

④必存在正数 a 使得曲线 C1: y = ax2 +2x +2 和曲线 C2: x2 + y2 =1为“相关曲线”.其中正确命题 2

的个数为( )

A. 1 B. 2 【答案】C 【解析】

C. 3

D. 4

【分析】

根据“相关曲线”的定义,只需判断每个命题中的两条曲线是否有公切线即可,若有公切线,则为“相关

曲线”,否则则不是.

【详解】对于①,由题意得曲线 C1 是以(0,0)为圆心,2 为半径的圆;曲线 C2 是以(2,?1)为圆心,半径

为 1 的圆.两圆的圆心距为 C1C1 = 5 ,由于1 < C1C1 < 3 ,故两圆相交,因此有两条外公切线,故①正

确. 对于②,由题意得曲线 C1,C2 是共轭双曲线(它们各自在 x 轴上方的部分),具有相同的渐近线,因此两 曲线没有公切线,故②不正确. 对于③,因为 b>a>0,在同一坐标系内画出两曲线,如下图中的图形.
由图可得圆在抛物线的内部,所以两曲线不会有公切线,故③正确.
对于④,当 a=1 时,曲线 C1: y = x2 +2x +2 = (x +1)2 +1 ,此时直线 y =1与曲线 C1 和曲线 C2 都相切,
故④正确. 综上可得有三个命题正确. 故选 C. 【点睛】解答本题的关键是正确理解题意,并找出两曲线的公切线,解题时要注意对每个结论中两曲线形 状、性质的分析和判定,进而得到两曲线是否有公切线.考查理解和运用知识解决问题的能力.
二、填空题,共 6 小题. 11.已知⊙M: x2 - 4x + y2 = 0 ,则⊙M 的半径 r=____________. 【答案】 2
【解析】 【分析】 把圆的一般方程化为标准方程后可得圆的半径.
( ) 【详解】由题意得圆的标准方程为 x - 2 2 + y2 = 4 , ( ) 所以该圆的圆心为 2, 0 ,半径为 2 .
故答案为 2 .

【点睛】本题考查圆的一般方程和标准方程间的转化,考查变形能力和辨识能力,属于简单题. 12.如图所示,正方体 ABCD-A'B'C'D'的棱长为 1,线段 B'D'上有点 H,满足 D'H=1,则异面直线 DH 与 CC' 所成角的大小为___________.
【答案】 45?
【解析】 【分析】
根据两异面直线所成角的定义得到?D?DH 即为所求的角(或其补角),结合条件在 RtDD?DH 求解可得所
求.
【详解】如图,因为 D?D ? C?C , 所以?D?DH 即为异面直线 DH 与 CC'所成的角(或其补角). 在 RtDD?DH 中,?DD?H = 90°, DD?= D?H =1, 所以?D?DH = 45° , 所以异面直线 DH 与 CC'所成的角为 45? . 故答案为 45? .
【点睛】本题考查异面直线所成角的求法,解题的关键是根据定义作出两直线所成的角,同时还应注意两 异面直线所成角的范围,这一点在解题中容易被忽视.
13.已知椭圆 x2 + y2 =1焦点为 F1,F2,P 为椭圆上一点,则△F1PF2 的周长为__________. 42
【答案】 4 +2 2
【解析】 【分析】 结合图形根据椭圆的定义求解即可得到三角形的周长.
【详解】由题意得 a = 2, b = c = 2 .

∵P 为椭圆上一点,
∴ PF1 + PF2 = 2a = 4 , ∴△F1PF2 的周长为 PF1 + PF2 + F1F2 = 4 +2 2 .

故答案为 4 +2 2 .

【点睛】椭圆上的点和两焦点构成的三角形称为焦点三角形,解决有关焦点三角形的问题时往往要用到椭

圆的定义,然后再结合正弦、余弦定理等知识求解,解题时注意整体代换(即椭圆定义)的应用.

14.若向量

a?

= (1, l

? , 2),b

= (-

2,1,1)

,且

a?,

? b

夹角的余弦值为

1

,则

l

=__________.

6

【答案】1

【解析】

【分析】

根据向量的数量积得到关于 l 的方程,解方程可得所求的值.

【详解】∵ a?

= (1, l

? , 2),b

= (-

2,1,1)



∴ a? =

? l 2 +5, b =

6.



a?,

? b

夹角的余弦值为

1



6



a?

? ×b

=

-

2

+

l

+2 =

l 2 +5?

6?

1


6

整理得 l 2 =1,

解得 l = ± 1.

当l

=

-

1时,

a?

? ×b

=

-

1

,不合题意,舍去.

当l

=

1

时,

a?

? ×b

=1

,符合题意.

∴l =1.

故答案为 1.

【点睛】本题考查空间向量数量积的应用,解题时根据数量积的两种表示方法得到关于参数的方程,求解

后可得所求.本题也可直接根据夹角的求法得到关于参数的方程后求解.

15.若椭圆 W: x2 + y2 =1的离心率是

6
,则 m=___________.

2m

3

【答案】 2 或 6 3

【解析】 【分析】
按照椭圆的焦点在 x 轴和在 y 轴上两种情况分别求解,可得所求结果. 【详解】①当椭圆的焦点在 x 轴上时,则有 a = 2, c = 2 - m ,

由题意得

2- m =

6


23

解得 m = 2 . 3

②当椭圆的焦点在 y 轴上时,则有 a = m, c = m - 2 ,

由题意得

m- 2 =

6


m3

解得 m = 6 . 综上可得 m = 2 或 m = 6 .
3 故答案为 2 或 6 .
3
【点睛】解答本题的关键有两个:一个是注意分类讨论思想方法的运用,注意椭圆焦点所在的位置;二是

解题时要分清椭圆方程中各个参数的几何意义,然后再根据离心率的定义求解.

16.如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(0<a<b),原点 O 为 AD 的中点,抛物线 y2 = 2 px( p > 0) 经过 C,F 两点,则 a =__________.
b

【答案】 2 +1
【解析】

(?- a)2 = 2 p×a

试题分析:由题意 C( a , - a), F ( a +b, b) ,代入抛物线方程得:{

2,

2

2

b2 = 2 p(a +b)

2

因为 a

> 0,b > 0, p > 0 ,消去

a p 得: b2

=

1 ,化简整理得: a2 a +2b

+2ab -

b2

= 0 ,即

( b )2 +2 b - 1 = 0 ,解得: b = 2 +1,故填 2 +1.

aa

a

考点:1.抛物线的标准方程;2.齐次方程的求解.

视频

三、解答题共 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.已知抛物线 C: y2 = 4x 的焦点为 F,直线 l:y= x - 2 与抛物线 C 交于 A,B 两点.

(1)求 AB 弦长; (2)求△FAB 的面积.

【答案】(1) 4 6 ;(2) 2 3 .

【解析】

【分析】

(1)利用代数方法,根据弦长公式求解;(2)在(1)的基础上,再求出点 F 到直线 AB 的距离,最后根据三

角形的面积公式求解即可.

【详解】(1)由 ì?í ??

y = x - 2,
消去
y2 = 4x

y

整理得 x2

-

8x +4

=0,

其中 D= 64 - 4? 4 = 48 > 0 ,

设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ).

则 x1 + x2 = 8 , x1 ×x2 = 4 .
( ) 所以 x1 - x2 = x1 + x2 2 - 4x1x2 = 4 3 ,
所以 AB = 1+12 × x1 - x2 = 2 ? 4 3 = 4 6 .
(2)由题意得点 F(1,0),

1- 2

故点 F 到直线 AB 的距离 d =

=

2


22

所以 SDABF

= 1 × AB ×d 2

= 1? 2

4

6?

2 =2 3. 2

即△FAB 的面积为 2 3 .
【点睛】直线和圆锥曲线相交所得的弦长即为两交点间的距离,解题时可根据弦长公式求解,由于涉及到 大量的运算,所以解题中要注意“设而不求”和“整体代换”等方法的运用,以减少运算量,提高解题的 效率和准确程度. 18.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,平面 A1AB⊥平面 A1BC,且 AH⊥A1B 交线段 A1B 于点 H,AB=BC=2,CC1=3.点 M 是棱 CC1 的中点.

(1)证明:BC⊥平面 A1AB; (2)求直线 MB 与平面 A1BC 所成角的正弦值.
6 13
【答案】(1)详见解析;(2)
65
【解析】 【分析】 (1)由平面 A1AB⊥平面 A1BC,且 AH⊥A1B 可得 AH⊥平面 A1BC,于是得 AH⊥BC;再根据直三棱柱可得 BC⊥B1B,于是可得 BC⊥平面 ABB1A1,即 BC⊥平面 A1AB;(2)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量和 直线的方向向量,利用向量的夹角可求出线面角的正弦值. 【详解】(1)因为平面 A1AB⊥平面 A1BC,平面 A1AB∩平面 A1BC=A1B,AH⊥A1B, 所以 AH⊥平面 A1BC.
又 BC ? 平面 A1BC,
所以 AH⊥BC.

因为 ABC-A1B1C1 为直三棱柱, 所以 AA1⊥BC. 又 AA1∩AH=A, 所以 BC⊥平面 ABB1A1, 即 BC⊥平面 A1AB. (2)由 BC⊥平面 ABB1A1 可得 BC⊥AB, 所以 BA, BC, BB1 两两垂直. 以 B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 B-xyz,

3 则 B(0, 0, 0),C(2, 0, 0), A1(0, 2,3), M (2, 0, 2) ,

所以

????? BM

=

(2,

0,

3

)

.

2

设平面 A1BC 的法向量为 n? = (x, y, z) ,



ì?í ??

n? n?

???? ×?B?C?? ×BA1

= (x, y, z)×(2, 0, 0) = (x, y, z)×(0, 2,3)

= 2x =2y

=0 +3z

=

0

,得

ì ? í ? ?

x y

=0 =-

3 2

z



令 z = 2 得 n? = (0, - 3, 2) .

设直线 MB 与平面 A1BC 所成的角为q ,

则 sinq =

cos

n?,

????? BM

n?

????? ×BM

=

n?

????? ×BM

=

3 1+ 9 ?

4

=6

13


65

13

6 13

即直线 MB 与平面 A1BC 所成角的正弦值为



65

【点睛】利用向量法求线面角时,可利用平面的法向量和直线的方向向量来求,即设平面的法向量为 n? ,

?
直线的方向向量为 l ,直线与平面所成的角为q ,则 sinq =| cos

n?,

????? BM

.解题时注意向量的夹角和直线

与平面所成角之间的关系. 19.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,O 为 AD 中点,

AB=1,AD=2,AC=CD= 5 .

(1)证明:直线 AB∥平面 PCO; (2)求二面角 P-CD-A 的余弦值; (3)在棱 PB 上是否存在点 N,使 AN⊥平面 PCD,若存在,求线段 BN 的长度;若不存在,说明理由.

2

23

【答案】(1)详见解析;(2) ;(3) .

3

3

【解析】

【分析】

(1)根据条件 AC=CD 可得 CO ^ AD ,又 AB⊥AD,所以 AB∥CO,然后根据线面平行的判定定理可得结论;
(2)以 O 为原点建立空间直角坐标系,求出平面 PCD 和平面 ABCD 的法向量,根据两向量的夹角求解可得所

求余弦值;(3)假设存在点 N 满足条件,设出点 N 的坐标,根据直线 AN 的方向向量和平面 PCD 的法向量平

行可得结论.

【详解】(1)因为 AC=CD,O 为 AD 中点,

所以 CO ^ AD .

又 AB⊥AD,

所以 AB∥CO,
又 AB ?平面 PCO,CO ? 平面 PCO,

所以 AB∥平面 PCO.

(2)因为 PA=PD,

所以 PO⊥AD.
又因为 PO ? 平面 PAD,平面 PAD⊥平面 ABCD,
所以 PO⊥平面 ABCD.
因为 CO ? 平面 ABCD,
所以 PO⊥CO. 因为 AC=CD,所以 CO⊥AD.
如图建立空间直角坐标系 O- xyz .

则 A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).

设平面 PCD 的法向量为 n? = (x, y, z) ,



ì? í ??

nn??××??PP??DC????

= 0, = 0,

,得

ì?í ??

-y 2x

-

z z

= 0, = 0.

'

令 z=2,则 n? = (1, - 2, 2) .

???? 又平面 ABCD 的法向量为 OP =(0,0,1),

? ???? 所以 cos n,OP

= n??×O????P???? = n OP

2 =2. 1+4+4 3

由图形得二面角 P - CD - A 为锐角, 所以二面角 P - CD - A 的余弦值为 2 .
3
(3)假设存在点 N 是棱 PB 上一点,使得 AN⊥平面 PCD,
???? ????
则存在 l ∈[0,1]使得 BN = l BP = l (- 1, - 1,1) = (- l , - l , l ),
???? ???? ????
因此 AN = AB +BN =(1, 0, 0) +(- l , - l , l ) =(1- l , - l , l ) .
由(2)得平面 PCD 的法向量为 n? = (1, - 2, 2) .

因为 AN⊥平面 PCD,

所以

???? AN



n?

,即

1

-

l

=-l

=l

.

1 -2 2

解得 l

2
= ∈[0,1],

3

所以存在点 N 是棱 PB 上一点,使 AN⊥平面 PCD,此时 BN = 2 BP = 2

3
.

3

3

【点睛】(1)用向量法求二面角时,先求出两平面法向量的夹角,再通过观察图形得到二面角为锐角还是钝

角,最后才能得到结论.

(2)解决立体几何中的探索性问题时,一般先假设存在满足条件的元素(点或线),然后以此作为条件进行

推理,看能否得到矛盾,若得到矛盾,则假设不成立;若得不到矛盾,则假设成立.

20.平面直角坐标系 xOy 中,已知点 M(

2 ,1)和点 N(

2


7
)都在椭圆 C:

22

x2 a2

+ y2 b2

=1(a > b > 0) 上.

(1)求椭圆 C 的方程及其离心率 e;
(2)已知 O 是坐标系原点,一条直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,与 y 轴正半轴交于点 P,令
???? ???? ???? ???? t = OA×OB + PA×PB .试问:是否存在定点 P,使得 t 为定值.若存在,求出点 P 的坐标和 t 的值;若不

存在,请说明理由.

( ) 【答案】(1) x2 + y2 =1, e = 2 ;(2) P 0,1 , t = - 3 .

42

2

【解析】 【分析】

(1)将点 M,N 的坐标代入椭圆方程,求出 a, b 的值后可得椭圆方程,进而可得离心率;(2)由题意直线

l 的斜率存在,设其方程为 y = kx +m ,代入椭圆方程后消元得到关于 x 的二次方程,结合根与系数的关

( )( ) ???? ???? ???? ???? m2 - 1 2k 2 +5

系得到 t= OA×OB + PA×PB =

1+2k 2

- 3 ,故得当 m2 =1时 t 为定值,并可求出点 P 的坐标.

【详解】(1)因为点 M(

2 ,1)和点 N(

2

2

7 )在椭圆 x2 + y2

2

a2 b2

=1上,

ì ? 所以 ?í ? ??

2 a2

+1 b2

=1

ì? ,解得 í

1 2a2

+7 4b2

=1

??

a2 b2

=4

=2

所以椭圆 C 的方程为 x2 + y2 =1. 42

又 c = a2 - b2 = 2 ,

所以离心率 e =

2
.

2

(2)由题意得直线 l 的斜率存,设直线 l 的方程为 y = kx +m(m > 0) ,

( ) ì
? 由í
? ??

y = kx +m,

x2

+

y2

消去 y =1,

整理得

42

1+2k 2

x2 +4kmx +2m2 - 4 = 0 .

因为直线直线 l 与椭圆交于 A,B 两点, 所以 D= 32k 2 - 8m2 +16 > 0 .(*)

( ) ( ) 设直线 l 与椭圆 C 交于两点 A x1, y1 ,B x2 , y2 ,



x1

+ x2

=-

4km 1+2k 2



x1x2

=

2m2 - 4 1+2k 2

.

根据条件可知 P(0,m),
???? ???? ???? ????
则 t= OA×OB + PA×PB = (x1, y1)×(x2, y2) +(x1, y1 - m)×(x2, y2 - m) ( ) = 2x1x2 +2 y1 y2 - m y1 + y2 +m2
= 2x1x2 +2(kx1 +m)(kx2 +m) - m(kx1 +m +kx2 +m) +m2

( ) ( ) = 2 +2k 2 x1x2 +km x1 + x2 +m2

( ) =

2 +2k 2

2m2 1+2k

4
2

+

km

???è1-+42kkm2

? ÷÷?+

m2

= 2k 2m2 +5m2 - 8k 2 - 8 1+2k 2

( )( ) m2 - 1 2k 2 +5 - 6k 2 - 3
= 1+2k 2

( )( ) m2 - 1 2k2 +5

= 1+2k 2

- 3.

所以当 m2=1,即 m =1时,(*)式成立,t 为定值-3,

所以直线 l 过定点 P(0,1),此时 t=-3.
【点睛】存在性问题通常采用“肯定顺推法”求解,将不确定性问题明朗化.其步骤为:假设满足条件的 元素(点、直线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素 (点、直线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.




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