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2019年高中数学 第一章 坐标系 第2节 极坐标系 第3课时 直线的极坐标方程检测 北师大版选修4-4.doc

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2019 年高中数学 第一章 坐标系 第 2 节 极坐标系 第 3 课时 直线 的极坐标方程检测 北师大版选修 4-4 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.直线 3 x-y=0 的极坐标方程(限定 ρ ≥0)是( 3 7 B. θ = π 6 5 D. θ = π 6 ) π A.θ = 6 π 7 C.θ = 和 θ = π 6 6 解析: 由 即 tan θ = 3 3 x-y=0,得 ρ cos θ -ρ sin θ =0, 3 3 3 π 7 ,∴θ = 和 θ = π , 3 6 6 π 7 又 ρ ≥0,因此直线的方程可以用 θ = 和 θ = π 表示. 6 6 答案: C ? π? 2.在极坐标系中,过点?3, ?且垂直于极轴的直线方程为( 3? ? 3 A.ρ cosθ = 2 3 C.ρ = cosθ 2 3 B.ρ sinθ = 2 3 D.ρ = sinθ 2 ) 解析: 如图所示,设 M(ρ ,θ )是所求直线上任一点, 在 Rt△AQO 中, π 3 由已知得|OQ|=3cos = . 3 2 3 在 Rt△MQO 中,得 ρ cosθ = . 2 即为所求直线的极坐标方程. 答案: A π? ? 3.在极坐标系中,曲线 ρ =4sin?θ - ?(ρ ∈R)关于( 4? ? π A.直线 θ = 成轴对称 3 ) 3π B.直线 θ = 成轴对称 4 ? π? C.点?2, ?成中心对称 3? ? D.极点成中心对称 π ?? ?π ? 解析: 将原方程变形为 ρ =4cos? -?θ - ??, 4 ?? 2 ? ? 3π ? ? ? 3π ? 即 ρ =4cos?θ - ?,该方程表示以?2, ?为圆心,以 2 为半径的圆,所以曲线关 4 ? 4 ? ? ? 3π 于直线 θ = 成轴对称. 4 答案: B π 3π 4.直线 θ = 和直线 θ = 的位置关系是( 2 2 A.平行 C.相交不垂直 解析: 由图象知,两直线垂直. 答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) B.垂直 D.不能确定 ) ? π? 5.在极坐标系中,点 A?1, ?到直线 ρ sin θ =-2 的距离是__________ ________. 4? ? 解析: 点 A 化为直角坐标为? 2? ? 2 , ?, 2 2 ? ? 2 . 2 直线为 y=-2,则点 A 到直线的距离为 2+ 答案: 2+ 2 2 π? ? 6.两条直线 ρ cos?θ - ?=2 和 tan θ =1 的夹角为__________ ________. 4? ? 解析: 将极坐标方程化为直角坐标方程: π? 2 ? 由 ρ cos?θ - ?=2 得 (ρ cos θ +ρ sin θ )=2, 4? 2 ? π 5π 即 x+y=2 2;由 tan θ =1,即 θ = 或 θ = , 4 4 即直线 y=x.由于直线 y=x 与 x+y=2 2互相垂直, 故夹角为 90°. 答案: 90° 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) π 7.求过点 A(5,0)和直线 θ = 垂直的直线的极坐标方程. 4 解析: 如图,设 M(ρ ,θ )为所求直线上任一点,则在△AOM 中, π π ∠OAM= ,|OM|=ρ ,∠OMA=π - -θ .|OA|=5, 4 4 ρ 5 在△AOM 中由正弦定理得: = , π π ? ? sin sin?π - -θ ? 4 4 ? ? ?π ? 5 2, 整理得:ρ sin? +θ ?= ?4 ? 2 即为所求直线的极坐标方程. 8. 从极点引直线与已知直线 l: ρ cos(θ -α )=a 交于一点 Q, P 点内分 OQ 成 的比. 当 m n Q 点在直线 l 上移动时,求点 P 的轨迹方程. 解析: 设 Q 点的坐标为(ρ 1,θ 1),P 点的坐标为(ρ ,θ ). 设点 P 内分 OQ 所成的比 =λ , λ ρ 1 m ? ?ρ = = ρ 1+λ m+n 则? ? ?θ =θ 1 m n 1 m+n ? ?ρ 1= ρ m ∴? ? ?θ 1=θ 代入点 Q 所在直线的极坐标方程 ρ 1cos(θ 1-α )=a 得 m+n ρ cos(θ -α )=a, m ∴ρ cos(θ -α )= a, m+n m 这就是点 P 的轨迹方程. 尖子生题库 ☆☆☆ 9.(10 分)如图所示,点 A 在直线 x=4 上移动,△OPA 为等腰直角三角形,△OPA 的顶 角为∠OPA(O,P,A 依次按顺时针方向排列),求点 P 的轨迹方程,并判断轨迹形状. 解析: 取 O 为极点,x 正半轴为极轴,建立极坐标系,则直线 x=4 的极坐标方程为 ρ cos θ =4,设 A(ρ 0,θ 0),P(ρ ,θ ), ∵点 A 在直线 ρ cos θ =4 上, ∴ρ 0cos θ 0=4. ∵△OPA 为等腰直角三角形, π 且∠OPA= ,而|OP|=ρ ,|OA|=ρ 0, 2 π 以及∠POA= , 4 π ∴ρ 0= 2ρ ,且 θ 0=θ - . 4 π? ? 把②代入①,得点 P 的轨迹的极坐标方程为 2ρ cos?θ - ?=4. 4? ? π? ? 由 2ρ cos?θ - ?=4, 4? ? 得 ρ (cos θ +sin θ )=4, ∴点 P 的轨迹的普通方程为 x+y=4, 3π 是过点(4,0)且倾斜角为 的直线. 4 ① ②


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