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宁夏银川市育才中学2015-2016学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析

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2015-2016 学年宁夏银川市育才中学高一(上)期末数学试卷
一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1.若空间两条直线 a 和 b 没有公共点,则 a 与 b 的位置关系是( ) A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面
2.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是( ) A.空间四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
3.过点 M(﹣2,a)和 N(a,4)的直线的斜率为 1,则实数 a 的值为( ) A.1 B.2 C.1 或 4 D.1 或 2
4.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,与侧棱 AB 异面且垂直的棱有( ) A.8 条 B.6 条 C.4 条 D.3 条
5.已知圆锥的母线长为 5,底面周长为 6π,则它的体积为( ) A.10π B.12π C.15π D.36π
6.直线 x+ y+2=0 的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150°
7.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( ) A.x+2y﹣5=0 B.2x+y﹣4=0 C.x+3y﹣7=0 D.3x+y﹣5=0
8.平面 α 与平面 β 平行的条件可以是( ) A.α 内有无穷多条直线都与 β 平行 B.直线 a∥α,a∥β,且直线 a 不在 α 内,也不在 β 内 C.α 内的任何直线都与 β 平行 D.直线 a 在 α,直线 b 在 β 内,且 a∥β,b∥α
9.圆 x2+y2﹣4=0 与圆 x2+y2+2x=0 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.内含
10.三视图如图的几何体的全面积是( )

A.

B.

C.

D.

11.若圆 x2+y2﹣2x﹣4y=0 的圆心到直线 x﹣y+a=0 的距离为 ,则 a 的值为( )

A.﹣2 或 2 B. 或

C.2 或 0 D.﹣2 或 0

12.在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x2+y2﹣8x+15=0,若直线 y=kx﹣2 上至少存 在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则实数 k 的最大值为( )
A.0 B. C. D.3

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

13.棱长为 2 的正方体的顶点在同一个球上,则该球的表面积为



14.过点 A(2,1),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是



15.两平行直线 x+3y﹣4=0 与 2x+6y﹣9=0 的距离是



16.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论: ①AB⊥EF; ②AB 与 CM 所成的角为 60°; ③EF 与 MN 是异面直线; ④MN∥CD. 以上四个命题中,正确命题的序号是


三、解答题(共 56 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.求满足下列条件的直线方程. (1)直线 l1 经过点 A(4,﹣2),B(﹣1,8); (2)直线 l2 过点 C(﹣2,1),且与 y 轴平行.
18.如图所示的一块木料中,棱 BC 平行于面 A′C′. (Ⅰ)要经过面 A′C′内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开,应怎样画线? (Ⅱ)所画的线与平面 AC 是什么位置关系?并证明你的结论.

19.设直线 x+2y+4=0 和圆 x2+y2﹣2x﹣15=0 相交于点 A,B. (1)求弦 AB 的垂直平分线方程; (2)求弦 AB 的长.

20.如图,PA⊥平面 ABC,PA= ,AB=1,BC= (1)求二面角 B﹣PA﹣C 的大小; (2)求直线 BD 与平面 ABC 所成角的正切值.

,AC=2,D 是 PC 的中点.

21.已知直线 l1:2x﹣y=0,直线 l2:x﹣y+2=0 和直线 3:3x+5y﹣7=0. (1)求直线 l1 和直线 l2 交点 C 的坐标; (2)求以 C 点为圆心,且与直线 l3 相切的圆 C 的标准方程.
22.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC, E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明平面 PAC⊥平面 PBD; (2)证明 PB⊥平面 EFD.

2015-2016 学年宁夏银川市育才中学高一(上)期末数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1.若空间两条直线 a 和 b 没有公共点,则 a 与 b 的位置关系是( ) A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】证明题. 【分析】由两条直线的位置特点再结合两条直线平行的定义与两条直线异面的定义可得直线 a 与直线 b 平行或异面. 【解答】解:当直线 a 与直线 b 共面时,由两条直线平行的定义得 a∥b. 当直线 a 与直线 b 不共面时,由异面直线的定义得直线 a 与直线 b 异面. 故选 D. 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握两条直线在空间的位置关系与两条直线平行、异面 的定义.
2.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是( ) A.空间四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【考点】平面的基本性质及推论. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】空间四边形 ABCD 中,由 AC⊥BD,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的 中点,推导出 EH GF,EF HG,EH⊥EF,由此能证明四边形 EFGH 是矩形.
【解答】解:如图,空间四边形 ABCD 中, ∵AC⊥BD,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点, ∴EH∥BD,且 EH= BD,GF∥BD,且 GF= ,
EF∥AC,且 EF= AC,HG∥AC,且 HG= AC,
∴EH GF,EF HG,EH⊥EF,
∴四边形 EFGH 是矩形. 故选:B.

【点评】本题考查四边形形状的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意三角形中位线定 理的合理运用.

3.过点 M(﹣2,a)和 N(a,4)的直线的斜率为 1,则实数 a 的值为( ) A.1 B.2 C.1 或 4 D.1 或 2 【考点】直线的斜率. 【专题】计算题.

【分析】利用直线的斜率公式可得

,解方程求得 a 的值.

【解答】解:由于过点 M(﹣2,a)和 N(a,4)的直线的斜率为 1, ∴

∴a=1 故选:A. 【点评】本题考查直线的斜率公式的应用,是一道基础题.

4.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,与侧棱 AB 异面且垂直的棱有( ) A.8 条 B.6 条 C.4 条 D.3 条 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【专题】计算题;数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.
【分析】作出正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,数结合列举出与侧棱 AB 异面且垂直的棱,由 此能求出结果.
【解答】解:如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,与侧棱 AB 异面且垂直的棱有: CC1,DD1,A1D1,B1C1, 共 4 条. 故选:C.

【点评】本题考查正方体中与侧棱异面且垂直的棱的条数的求法,是基础题,解题时要认真 审题,注意数形结合思想的合理运用.

5.已知圆锥的母线长为 5,底面周长为 6π,则它的体积为( ) A.10π B.12π C.15π D.36π 【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台). 【专题】计算题;转化思想;空间位置关系与距离;立体几何. 【分析】圆锥的底面周长,求出底面半径,然后求出圆锥的高,即可求出圆锥的体积. 【解答】解:∵圆锥的底面周长为 6π, ∴圆锥的底面半径 r=3; 又∵圆锥的母线长 l=5, ∴圆锥的高 h=4,
所以圆锥的体积为 V= ×π?32×4=12π,
故选:B. 【点评】本题是基础题,考查计算能力,圆锥的高的求法,底面半径的求法,是必得分的题 目

6.直线 x+ y+2=0 的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 【考点】直线的一般式方程. 【专题】直线与圆. 【分析】由直线的方程可得直线的斜率,由倾斜角和斜率的关系可得答案.
【解答】解:直线 x+ y+2=0 可化为 y=﹣ x﹣ ,

∴直线的斜率为﹣ ,

设直线的倾斜角为 α,可得 tanα=﹣ ,
∴α=150° 故选:D 【点评】本题考查直线的一般式方程,涉及直线的倾斜角和斜率的关系,属基础题.

7.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( A.x+2y﹣5=0 B.2x+y﹣4=0 C.x+3y﹣7=0 【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系.

) D.3x+y﹣5=0

【专题】计算题. 【分析】先根据垂直关系求出所求直线的斜率,由点斜式求直线方程,并化为一般式. 【解答】解:设 A(1,2),则 OA 的斜率等于 2,故所求直线的斜率等于﹣ ,由点斜式求
得所求直线的方程为 y﹣2=﹣ (x﹣1),化简可得 x+2y﹣5=0,故选 A.
【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方法,求出所求直线的斜率,是解题的关键.

8.平面 α 与平面 β 平行的条件可以是( ) A.α 内有无穷多条直线都与 β 平行 B.直线 a∥α,a∥β,且直线 a 不在 α 内,也不在 β 内 C.α 内的任何直线都与 β 平行 D.直线 a 在 α,直线 b 在 β 内,且 a∥β,b∥α 【考点】平面与平面平行的判定. 【专题】计算题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】在 A、B、D 中,α 与 β 相交或平行;在 C 中,由面面平行的判定定理得 α∥β. 【解答】解:在 A 中,α 内有无穷多条直线都与 β 平行,α 与 β 有可能相交,故 A 错误; 在 B 中:直线 a∥α,a∥β,且直线 a 不在 α 内,也不在 β 内,则 α 与 β 相交或平行,故 B 错误; 在 C 中:α 内的任何直线都与 β 平行,由面面平行的判定定理得 α∥β,故 C 正确; 在 D 中:直线 a 在 α,直线 b 在 β 内,且 a∥β,b∥α,则 α 与 β 相交或平行,故 D 错误. 故选:C. 【点评】本题考查面面平行的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、 面面间的关系的合理运用.

9.圆 x2+y2﹣4=0 与圆 x2+y2+2x=0 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.内含 【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【专题】转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】把圆的方程化为标准形式,求出圆心坐标和圆的半径,再根据这两个圆的圆心距为
d=R﹣r,可得两圆相内切. 【解答】解:圆 x2+y2﹣4=0 即 x2+y2=4,表示以原点 O 为圆心、半径等于 2 的圆, 圆 x2+y2+2x=0,即 (x+1)2+y2 =1,表示以 C(﹣1,0)为圆心、半径等于 1 的圆.

由于这两个圆的圆心距为 d=OC=

=2﹣1=R﹣r,故两圆相内切,

故选:B. 【点评】本题主要考查圆和圆的位置关系的判断方法,两点间的距离公式,属于基础题.

10.三视图如图的几何体的全面积是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积.

【专题】计算题.

【分析】由三视图知几何体是一个四棱锥,四棱锥的底面是一个边长为 1 的正方形,一条侧

棱与底面垂直,且侧棱的长是 1,另外两条侧棱长,得到表面积.

【解答】解:由三视图知几何体是一个四棱锥,

四棱锥的底面是一个边长为 1 的正方形,

一条侧棱与底面垂直,且侧棱的长是 1,

∴四棱锥的表面积是 1×

+2×

=2+

故选 A. 【点评】本题考查由三视图还原几何体,本题解题的关键是看出几何体的各个部分的长度, 本题是一个基础题.

11.若圆 x2+y2﹣2x﹣4y=0 的圆心到直线 x﹣y+a=0 的距离为 ,则 a 的值为( )

A.﹣2 或 2 B. 或

C.2 或 0 D.﹣2 或 0

【考点】点到直线的距离公式. 【专题】计算题. 【分析】把圆的方程化为标准方程后,找出圆心坐标,利用点到直线的距离公式表示出圆心

到已知直线的距离,根据此距离等于 列出关于 a 的方程,求出方程的解即可得到 a 的值.

【解答】解:把圆 x2+y2﹣2x﹣4y=0 化为标准方程为:(x﹣1)2+(y﹣2)2=5,所以圆心坐 标为(1,2),
∵圆心(1,2)到直线 x﹣y+a=0 的距离为 ,



,即|a﹣1|=1,可化为 a﹣1=1 或 a﹣1=﹣1,

∴解得 a=2 或 0. 故选 C. 【点评】此题考查学生会将圆的一般式方程化为圆的标准方程并会从标准方程中找出圆心坐 标,灵活运用点到直线的距离公式化简求值,是一道中档题.

12.在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x2+y2﹣8x+15=0,若直线 y=kx﹣2 上至少存 在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则实数 k 的最大值为( )

A.0 B. C. D.3
【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 【分析】圆 C 的方程为 x2+y2﹣8x+15=0,即 (x﹣4)2+y2=1,表示以 C(4,0)为圆心, 半径等于 1 的圆.由题意可得,直线 y=kx﹣2 和圆 C′:即 (x﹣4)2+y2=4 有公共点,由

点 C′到直线 y=kx﹣2 的距离为 d=

≤2,求得实数 k 的最大值.

【解答】解:圆 C 的方程为 x2+y2﹣8x+15=0,即 (x﹣4)2+y2=1,表示以 C(4,0)为圆 心,半径等于 1 的圆. 要使直线 y=kx﹣2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有交点, 只要直线 y=kx﹣2 和圆 C′:即 (x﹣4)2+y2=4 有公共点即可,

由点 C′到直线 y=kx﹣2 的距离为 d=

≤2,3k2﹣4k≤0,

解得 0≤k≤ ,故 k 的最大值为 ,
故选 B. 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,体现了等价转化的数学 思想,属于中档题.

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.棱长为 2 的正方体的顶点在同一个球上,则该球的表面积为 12π . 【考点】球内接多面体;球的体积和表面积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】由棱长为 2 的正方体的八个顶点都在同一个球面上,知球半径 R= 球的表面积. 【解答】解:∵棱长为 2 的正方体的八个顶点都在同一个球面上,

,由此能求出

∴球半径 R= = ,

∴球的表面积 S=4π( )2=12π. 故答案为:12π. 【点评】本题考查球的表面积的求法,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.

14.过点 A(2,1),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 x﹣2y=0,或 x+y﹣3=0 . 【考点】直线的截距式方程. 【专题】分类讨论;直线与圆. 【分析】当直线过原点时,用点斜式求得直线方程.当直线不过原点时,设直线的方程为 x+y=k,把点 A(2,1)代入直线的方程可得 k 值,从而求得所求的直线方程,综合可得结 论.
【解答】解:当直线过原点时,方程为 y= x,即 x﹣2y=0.
当直线不过原点时,设直线的方程为 x+y=k,把点 A(2,1)代入直线的方程可得 k=3,

故直线方程是 x+y﹣3=0. 综上,所求的直线方程为 x﹣2y=0,或 x+y﹣3=0, 故答案为 x﹣2y=0,或 x+y﹣3=0. 【点评】本题考查用待定系数法求直线方程,体现了分类讨论的数学思想,注意当直线过原 点时的情况,这是解题的易错点,属于基础题.

15.两平行直线 x+3y﹣4=0 与 2x+6y﹣9=0 的距离是



【考点】两条平行直线间的距离. 【专题】计算题. 【分析】在一条直线上任取一点,求出这点到另一条直线的距离即为两平行线的距离. 【解答】解:由直线 x+3y﹣4=0 取一点 A,令 y=0 得到 x=4,即 A(4,0),

则两平行直线的距离等于 A 到直线 2x+6y﹣9=0 的距离 d=

=

=.

故答案为:
【点评】此题是一道基础题,要求学生理解两条平行线的距离的定义.会灵活运用点到直线 的距离公式化简求值.
16.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论: ①AB⊥EF; ②AB 与 CM 所成的角为 60°; ③EF 与 MN 是异面直线; ④MN∥CD. 以上四个命题中,正确命题的序号是
①③ .

【考点】异面直线及其所成的角;异面直线的判定. 【专题】阅读型. 【分析】先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,再根据所给结论进行逐一判定即可. 【解答】解:把正方体的平面展开图还原成原来的正 方体如图所示,则 AB⊥EF,EF 与 MN 为异面 直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确. 故答案为①③

【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角,直线与直线的位置关系,考查空间想象能 力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.

三、解答题(共 56 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.求满足下列条件的直线方程. (1)直线 l1 经过点 A(4,﹣2),B(﹣1,8); (2)直线 l2 过点 C(﹣2,1),且与 y 轴平行. 【考点】待定系数法求直线方程. 【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆.
【分析】(1)由两点式方程知,直线 l1 的方程; (2)根据直线 l2 过点 C(﹣2,1),且与 y 轴平行,可得结论.

【解答】解:(1)由两点式方程知,直线 l1 的方程为



化简有 2x+y﹣6=0… (2)由题意知直线 l2 的方程为 x=﹣2… 【点评】本题考查直线方程,考查学生的计算能力,比较基础.

18.如图所示的一块木料中,棱 BC 平行于面 A′C′. (Ⅰ)要经过面 A′C′内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开,应怎样画线? (Ⅱ)所画的线与平面 AC 是什么位置关系?并证明你的结论.

【考点】棱柱的结构特征. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】(Ⅰ)注意到棱 BC 平行于面 A′C′,故过点 P 作 B′C′的平行线,交 A′B′、C′D′于点 E,F,连结 BE,CF; (Ⅱ)易知 BE,CF 与平面 AC 的相交,可证 EF∥平面 AC. 【解答】解:(Ⅰ)过点 P 作 B′C′的平行线, 交 A′B′、C′D′于点 E,F, 连结 BE,CF; 作图如下:

(Ⅱ)EF∥平面 AC.理由如下: 易知 BE,CF 与平面 AC 的相交, ∵BC∥平面 A′C′, 又∵平面 B′C′CB∩平面 A′C′=B′C′, ∴BC∥B′C′,

∴EF∥BC, 又∵EF?平面 AC,BC?平面 AC, ∴EF∥平面 AC. 【点评】本题考查了学生的作图能力及线面位置关系的判断,属于中档题.

19.设直线 x+2y+4=0 和圆 x2+y2﹣2x﹣15=0 相交于点 A,B. (1)求弦 AB 的垂直平分线方程; (2)求弦 AB 的长. 【考点】直线与圆的位置关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】(1)求出圆的圆心为 C(1,0),半径 r=4.根据垂径定理,弦 AB 的垂直平分线经 过圆心 C,由此加以计算即可得出 AB 的垂直平分线方程; (2)利用点到直线的距离公式,算出圆心 C(1,0)到直线 x+2y+4=0 的距离,再根据垂 径定理加以计算,可得弦 AB 的长. 【解答】解:(1)∵圆 x2+y2﹣2x﹣15=0 化成标准方程得(x﹣1)2+y2=16, ∴圆心为 C(1,0),半径 r=4. ∵直线 x+2y+4=0 和圆 x2+y2﹣2x﹣15=0 相交于点 A、B, ∴设弦 AB 的垂直平分线为 l:2x﹣y+m=0, 由垂径定理,可知点 C(1,0)在 l 上,得 2×1﹣0+m=0,解之得 m=﹣2. 因此,弦 AB 的垂直平分线方程为 2x﹣y﹣2=0; (2)圆心 C(1,0)到直线 x+2y+4=0 的距离为:

d=

=.

根据垂径定理,得|AB|=2

=2 ,即弦 AB 的长等于 2 .

【点评】本题给出直线与圆相交,求弦的中垂线方程并求弦的长度.着重考查了圆的标准方 程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题.

20.如图,PA⊥平面 ABC,PA= ,AB=1,BC= (1)求二面角 B﹣PA﹣C 的大小; (2)求直线 BD 与平面 ABC 所成角的正切值.

,AC=2,D 是 PC 的中点.

【考点】直线与平面所成的角;二面角的平面角及求法.

【专题】计算题;转化思想;综合法;空间角.

【分析】(1)推导出 BA⊥PA,CA⊥PA,从而∠BAC 为二面角 B﹣PA﹣C 的平面角,由此

能求出二面角 B﹣PA﹣C 的大小.

(2)过点 D 作 DE⊥AC,垂足为 E,连接 AE,直线 BD 与平面 ABC 所成的角为∠DBE,

由此能求出直线 BD 与平面 ABC 所成角的正切值.

【解答】解:(1)∵PA⊥平面 ABC,AC?平面 ABC,AB?平面 ABC,

∴BA⊥PA,CA⊥PA,∴∠BAC 为二面角 B﹣PA﹣C 的平面角.

在△ ABC 中,∵



∴AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC,

∴△ABC 为直角三角形,

sin∠BAC= = ,∴∠BAC=60°,

故二面角 B﹣PA﹣C 的大小为 60°… (2)过点 D 作 DE⊥AC,垂足为 E,连接 AE, 从而结合题意知 DE⊥平面 ABC,

∴直线 BD 与平面 ABC 所成的角为∠DBE,且



又 D 是 PC 的中点,∴







=.

∴直线 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为 .…

【点评】本题考查三面角的大小的求法,考查线面角的正切值的求法,是中档题,解题时要 认真审题,注意空间思维能力的培养.
21.已知直线 l1:2x﹣y=0,直线 l2:x﹣y+2=0 和直线 3:3x+5y﹣7=0. (1)求直线 l1 和直线 l2 交点 C 的坐标; (2)求以 C 点为圆心,且与直线 l3 相切的圆 C 的标准方程.

【考点】圆的切线方程;两条直线的交点坐标. 【专题】转化思想;综合法;直线与圆.
【分析】(1)把直线 l1 和直线 l2 的方程联立方程组,求得直线 l1 和直线 l2 交点坐标. (2)根据圆 C 与直线 l3 相切,利用点到直线的距离公式求得圆的半径 r,从而求得圆 C 的 标准方程.

【解答】解:(1)由

,求得 .

所以直线 l1 和直线 l2 的交点 C 的坐标为(2,4). (2)因为圆 C 与直线 l3 相切,

所以圆的半径 r=

==



所以圆 C 的标准方程为 (x﹣2)2+(y﹣4)2= .
【点评】本题主要考查求两条直线的交点,直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式的应 用,体现了转化的数学思想,属于基础题.

22.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC, E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明平面 PAC⊥平面 PBD; (2)证明 PB⊥平面 EFD.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面垂直的判定. 【专题】计算题;方程思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】(1)推导出 AC⊥BD,AC⊥PD,从而 AC⊥平面 PBD,由此能证明平面 PAC⊥平 面 PBD. (2)推导出 DE⊥PC,BC⊥DC,BC⊥PD,从而 DE⊥平面 PBC 由此能证明 PB⊥平面 EFD. 【解答】证明:(1)∵在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD, ∵侧棱 PD⊥底面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴AC⊥PD. 又∵BD∩PD=D,∴AC⊥平面 PBD. 又∵AC?平面 PAC, ∴由平面与平面垂直的判定定理知,平面 PAC⊥平面 PBD… (2)在△ PDC 中,由 PD=DC,E 是 PC 的中点,知 DE⊥PC. 由底面 ABCD 是正方形,知 BC⊥DC, 由侧棱 PD⊥底面 ABCD,BC?底面 ABCD,知 BC⊥PD, 又 DC∩PD=D,故 BC⊥平面 PCD.而 DE?平面 PCD,所以 DE⊥BC.

由 DE⊥PC,DE⊥BC 及 PC∩BC=C,知 DE⊥平面 PBC. 又 PB?平面 PBC,故 DE⊥PB.又已知 EF⊥PB,且 EF∩DE=E, ∴PB⊥平面 EFD.…
【点评】本题考查面面垂直、线面垂直的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思 维能力的培养.

2016 年 2 月 4 日



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