2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页，共 150 分．考试时间 120 分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）
注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．
? ? 1．已知全集 U ? R ，集合 A ? x| ?2≤ x≤ 3 ， B ? ?x | x ? ?1或x ? 4? ，那么集合
A ??U B? 等于（ ）
A．?x | ?2≤ x ? 4?
B．?x | x ≤3或x≥4?
C．?x | ?2≤ x ? ?1? D．?x | ?1≤ x ≤3?
2．若 a
?
20.5 ， b
?
logπ
3，c
?
log2
sin
2π 5
，则（
）
A． a ? b ? c B． b ? a ? c
C． c ? a ? b
D． b ? c ? a
3．“函数 f (x)(x ? R) 存在反函数”是“函数 f (x) 在 R 上为增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．若点 P 到直线 x ? ?1 的距离比它到点 (2，0) 的距离小 1，则点 P 的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆 C．双曲线
D．抛物线
?x ? y ?1≥0，
5．若实数
x，y
满足
? ?
x
?
y
≥
0，
则 z ? 3x?2y 的最小值是（
）
? ?
x
≤
0，
A．0
B．1
C． 3
D．9
? ? 6．已知数列 an 对任意的 p，q ? N* 满足 ap?q ? ap ? aq ，且 a2 ? ?6 ，那么 a10 等于（ ）
A． ?165
B． ?33 C． ?30 D． ?21
7．过直线 y ? x 上的一点作圆 (x ? 5)2 ? ( y ?1)2 ? 2 的两条切线 l1，l2 ，当直线 l1，l2 关于
y ? x 对称时，它们之间的夹角为（ ）
A． 30
B． 45
C． 60
D． 90
8．如图，动点 P 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的对角线 BD1 上．过点 P 作垂直于平面
BB1D1D 的直线，与正方体表面相交于 M，N ．设 BP ?x ，MN ? y ，则函数 y ? f (x) 的
图象大致是（ ）
D1
C1
A1
B1
D
PN C
M
A
B
y
y
y
y
O
xO
xO
xO
x
A．
B．
C．
D．
2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）
第Ⅱ卷（共 110 分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在题中横线上．
9．已知 (a ? i)2 ? 2i ，其中 i 是虚数单位，那么实数 a ?
．
10．已知向量 a 与 b 的夹角为120 ，且 a ? b ? 4 ，那么 b (2a ? b) 的值为
．
11．若
? ??
x2
?
1 x3
n
? ? ?
展开式的各项系数之和为
32，则
n
?
为
．（用数字作答）
，其展开式中的常数项
12．如图，函数 f (x) 的图象是折线段 ABC ，其中 A，B，C 的坐标分别为 (0，4)，(2，0)，(6，4) ，
则 f ( f (0)) ?
；
lim f (1? ?x) ? f (1) ?
?x?0
?x
．（用数字作答）
y
4A
C
3
2
1B O 1 234 5 6 x
13．已知函数
f
(x)
?
x2
? cos
x
，对于
????
π 2
，π 2
? ??
上的任意
x1，x2
，有如下条件：
① x1 ? x2 ； ② x12 ? x22 ； ③ x1 ? x2 ．
其中能使 f (x1) ? f (x2 ) 恒成立的条件序号是
．
14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 k 棵树种植在
点 Pk (xk，yk ) 处，其中 x1 ? 1 ， y1 ? 1 ，当 k ≥ 2 时，
? ??xk
?
xk ?1
?1? 5 ???T
? ??
k
?1 5
? ??
?
T
? ??
k
? 5
2
??????，
?
? ??
yk
?
yk ?1
?T
? ??
k
?1 5
? ??
?T
? ??
k
? 5
2
???．
T (a) 表示非负实数 a 的整数部分，例如T (2.6) ? 2 ，T (0.2) ? 0 ．
按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为
；第 2008 棵树种植点的坐标应
为
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共 13 分）
已知函数 f (x) ? sin 2 ?x ?
3
sin
?
xsin
??? ? x
?
π 2
? ??
（
?
?
0
）的最小正周期为
π
．
（Ⅰ）求? 的值；
（Ⅱ）求函数
f
(x)
在区间
???0，23π
? ??
上的取值范围．
16．（本小题共 14 分）
如图，在三棱锥 P ? ABC 中，AC ? BC ? 2，?ACB ? 90 ，AP ? BP ? AB ，PC ? AC ．
（Ⅰ）求证： PC ? AB ； （Ⅱ）求二面角 B ? AP ?C 的大小； （Ⅲ）求点 C 到平面 APB 的距离．
P
A
B
C
17．（本小题共 13 分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少
有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量? 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求? 的分布列．
18．（本小题共 13 分）
已知函数
f
(x)
?
2x ?b (x ?1)2
，求导函数
f
?(x) ，并确定
f
(x)
的单调区间．
19．（本小题共 14 分）
已知菱形 ABCD 的顶点 A，C 在椭圆 x2 ? 3y2 ? 4 上，对角线 BD 所在直线的斜率为 1． （Ⅰ）当直线 BD 过点 (0，1) 时，求直线 AC 的方程；
（Ⅱ）当 ?ABC ? 60 时，求菱形 ABCD 面积的最大值．
20．（本小题共 13 分）
对于每项均是正整数的数列 A：a1，a2， ，an ，定义变换T1 ，T1 将数列 A 变换成数列 T1( A)：n，a1 ?1，a2 ?1， ，an ?1 ． 对于每项均是非负整数的数列 B：b1，b2， ，bm ，定义变换T2 ，T2 将数列 B 各项从大到小 排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2 (B) ； 又定义 S (B) ? 2(b1 ? 2b2 ? ? mbm ) ? b12 ? b22 ? ? bm2 ． 设 A0 是每项均为正整数的有穷数列，令 Ak?1 ? T2 (T1( Ak ))(k ? 0，1，2， ) ． （Ⅰ）如果数列 A0 为 5，3，2，写出数列 A1，A2 ； （Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列 A ，证明 S(T1( A)) ? S( A) ；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0 ，存在正整数 K ，当 k ≥ K 时，
S ( Ak?1) ? S ( Ak ) ．
2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
9． ?1
10． 0
11．5 10
12． 2 ?2
13．②
14． (1，2) ( 3，4 0 2 )
8．B
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15．（共 13 分）
解：（Ⅰ） f (x) ? 1? cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 3 sin 2?x ? 1 cos 2?x ? 1
2
2
2
2
2
?
sin
? ??
2?
x
?
π 6
? ??
?
1 2
．
因为函数 f (x) 的最小正周期为 π ，且? ? 0 ，
所以 2π ? π ，解得? ? 1． 2?
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
f
(x)
?
sin
???2 x
?
π 6
? ??
?
1 2
．
因为 0≤ x ≤ 2π ，
3
所以 ? π ≤ 2x ? π ≤ 7π ，
6
66
所以
?
1 2
≤
sin
? ??
2
x
?
π 6
? ??
≤1
，
因此
0
≤
sin
? ??
2x
?
π 6
? ??
?
1 2
≤
3 2
，即
f
(x)
的取值范围为
???0，32
? ??
．
16．（共 14 分） 解法一：
（Ⅰ）取 AB 中点 D ，连结 PD，CD ． AP ? BP ，
?PD ? AB． AC ? BC ，
?CD ? AB ．
P
D
A
B
C
PD CD ? D ， ?AB ? 平面 PCD．
PC ? 平面 PCD， ?PC ? AB ． （Ⅱ） AC ? BC ， AP ? BP ， ?△APC ≌△BPC ． 又 PC ? AC ， ?PC ? BC ．
P
E
A
B
C
又 ?ACB ? 90 ，即 AC ? BC ，且 AC PC ? C ，
?BC ?平面 PAC ． 取 AP 中点 E ．连结 BE，CE ．
AB ? BP ，?BE ? AP ． EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影， ?CE ? AP ． ??BEC 是二面角 B ? AP ?C 的平面角．
在 △BCE 中， ?BCE ? 90 ， BC ? 2 ， BE ? 3 AB ? 6 ， 2
?sin ?BEC ? BC ? 6 ． BE 3
?二面角 B ? AP ?C 的大小为 arcsin 6 ． 3
P
（Ⅲ）由（Ⅰ）知 AB ?平面 PCD ，
H
?平面 APB ? 平面 PCD． 过 C 作 CH ? PD ，垂足为 H ．
D
A
B
平面 APB 平面 PCD ? PD ，
?CH ? 平面 APB ．
C
?CH 的长即为点 C 到平面 APB 的距离．
由（Ⅰ）知 PC ? AB ，又 PC ? AC ，且 AB AC ? A，
?PC ?平面 ABC ．
CD ? 平面 ABC ，
?PC ? CD ．
在 Rt△PCD 中， CD ? 1 AB ? 2 ， PD ? 3 PB ? 6 ，
2
2
?PC ? PD2 ? CD2 ? 2 ．
?CH ? PC CD ? 2 3 ．
PD
3
?点 C 到平面 APB 的距离为 2 3 ． 3
解法二：
（Ⅰ） AC ? BC ， AP ? BP ， ?△APC ≌△BPC ． 又 PC ? AC ， ?PC ? BC ．
AC BC ? C ， ?PC ?平面 ABC ．
AB ?平面 ABC ， ?PC ? AB ．
（Ⅱ）如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz ．
则 C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0) ．
设 P(0，0，t) ．
PB ? AB ? 2 2 ，
?t ? 2 ， P(0，0，2) ． 取 AP 中点 E ，连结 BE，CE ．
AC ? PC ， AB ? BP ， ?CE ? AP ， BE ? AP ． ??BEC 是二面角 B ? AP ?C 的平面角．
E(0，1，1) ， EC ? (0，?1，?1) ， EB ? (2，?1，?1) ，
z P
E
H
y
A
C
?cos ?BEC ? EC EB ? 2 ? 3 ． EC EB 2 6 3
x B
?二面角 B ? AP ?C 的大小为 arccos 3 ． 3
（Ⅲ） AC ? BC ? PC ， ?C 在平面 APB 内的射影为正 △APB 的中心 H ，且 CH 的长为点 C 到平面 APB 的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系 C ? xyz ．
BH ? 2HE ，
?
点
H
的坐标为
? ??
2 3
，2 3
，2 3
? ??
．
? CH ? 2 3 ． 3
?点 C 到平面 APB 的距离为 2 3 ． 3
17．（共 13 分）
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加
A 岗位服务为事件 EA ，那么 P(EA ) ?
A33 C52 A44
?
1 40
，
即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 1 ． 40
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件
E ，那么 P(E)
?
A44 C52 A44
?1 10
，
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P(E) ? 1? P(E) ? 9 ． 10
（Ⅲ）随机变量? 可能取的值为 1，2．事件“? ? 2 ”是指有两人同时参加 A 岗位服务，
则 P(?
? 2) ?
C52 A33 C53 A44
?
1 4
．
所以 P(? ? 1) ? 1? P(? ? 2) ? 3 ，? 的分布列是 4
?
1
3
3
1
P
4
4
18．（共 13 分）
解：
f
?( x)
?
2( x
? 1) 2
? (2x ? b) (x ?1)4
2( x
?1)
?2x ? 2b ? 2 ? (x ?1)3
?
?
2[
x (
? (b ? x ?1)3
1)]
．
令 f ?(x) ? 0 ，得 x ? b ?1．
当 b ?1?1，即 b ? 2 时， f ?(x) 的变化情况如下表：
x (??，b ?1) b ?1 (b ?1，1) (1，? ?)
f ?(x)
?
0
?
?
当 b ?1 ?1，即 b ? 2 时， f ?(x) 的变化情况如下表：
x (??，1) (1，b ?1) b ?1 (b ?1，? ?)
f ?(x) ?
?
0
?
所以，当 b ? 2 时，函数 f (x) 在 (??，b ?1) 上单调递减，在 (b ?1，1) 上单调递增，
在 (1，? ?) 上单调递减．
当 b ? 2 时，函数 f (x) 在 (??，1) 上单调递减，在 (1，b ?1) 上单调递增，在 (b ?1，? ?) 上
单调递减．
当 b ?1 ?1，即 b ? 2 时， f (x) ? 2 ，所以函数 f (x) 在 (??，1) 上单调递减，在 (1，? ?) x ?1
上单调递减． 19．（共 14 分）
解：（Ⅰ）由题意得直线 BD 的方程为 y ? x ?1．
因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC ? BD ． 于是可设直线 AC 的方程为 y ? ?x ? n ．
由
?x2 ?
?
3y2
?
4，得
4x2
?
6nx
?
3n2
?
4
?
0
．
?y ? ?x ? n
因为 A，C 在椭圆上，
所以 ? ? ?12n2 ? 64 ? 0 ，解得 ? 4 3 ? n ? 4 3 ．
3
3
设 A，C 两点坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2 ) ，
则
x1
?
x2
?
3n 2
，
x1x2
?
3n2 ? 4
4
，
y1
?
? x1
?
n
，
y2
?
? x2
?
n．
所以
y1
?
y2
?
n 2
．
所以
AC
的中点坐标为
? ??
3n 4
，n 4
? ??
．
由四边形
ABCD
为菱形可知，点
? ??
3n 4
，n 4
? ??
在直线
y
?
x
?1
上，
所以 n ? 3n ?1，解得 n ? ?2 ． 44
所以直线 AC 的方程为 y ? ?x ? 2 ，即 x ? y ? 2 ? 0 ．
（Ⅱ）因为四边形 ABCD 为菱形，且 ?ABC ? 60 ， 所以 AB ? BC ? CA ．
所以菱形 ABCD 的面积 S ? 3 AC 2 ． 2
由（Ⅰ）可得
AC
2
? (x1 ? x2 )2
? ( y1 ?
y2 )2
?
?3n2 ?16 ， 2
所以 S ?
3 4
(?3n2
? ?16) ???
?
43 3
?
n
?
43 3
? ???
．
所以当 n ? 0 时，菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 ．
20．（共 13 分）
（Ⅰ）解： A0：5，3，2 ，
T1( A0 )：3，4，2，1 ，
A1 ? T2 (T1( A0 ))：4，3，2，1；
T1( A1)：4，3，2，1，0 ，
A2 ? T2 (T1( A1))：4，3，2，1．
（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列 A 为 a1，a2， ，an ，
则 T1( A) 为 n ， a1 ?1， a2 ?1 ， ， an ?1，
从而
S(T1( A)) ? 2[n ? 2(a1 ?1) ? 3(a2 ?1) ? ? (n ?1)(an ?1)]
?n2 ? (a1 ?1)2 ? (a2 ?1)2 ? ? (an ?1)2 ．
又 S ( A) ? 2(a1 ? 2a2 ? ? nan ) ? a12 ? a22 ? ? an2 ，
所以 S(T1( A)) ? S( A) ? 2[n ? 2 ? 3 ? ? (n ?1)] ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ?n2 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ? n ? ?n(n ?1) ? n2 ? n ? 0 ， 故 S(T1( A)) ? S( A) ． （Ⅲ）证明：设 A 是每项均为非负整数的数列 a1，a2， ，an ．
当存在1≤ i ? j ≤ n ，使得 ai ≤aj 时，交换数列 A 的第 i 项与第 j 项得到数列 B ， 则 S(B) ? S( A) ? 2(ia j ? jai ? iai ? ja j ) ? 2(i ? j)(aj ? ai ) ≤0 ． 当存在1≤ m ? n ，使得 am?1 ? am?2 ? ? an ? 0 时，若记数列 a1，a2， ，am 为 C ，
则 S(C) ? S(A) ．
所以 S(T2 ( A)) ≤ S( A) ．
从而对于任意给定的数列 A0 ，由 Ak?1 ? T2 (T1( Ak ))(k ? 0，1，2， )
可知 S ( Ak?1) ≤ S (T1( Ak )) ． 又由（Ⅱ）可知 S(T1( Ak )) ? S( Ak ) ，所以 S ( Ak?1) ≤ S ( Ak ) ． 即对于 k ? N ，要么有 S ( Ak?1) ? S ( Ak ) ，要么有 S ( Ak?1) ≤ S ( Ak ) ?1．
因为 S ( Ak ) 是大于 2 的整数，所以经过有限步后，必有 S( Ak ) ? S( Ak?1) ? S( Ak?2 ) ? ．
即存在正整数 K ，当 k ≥ K 时， S( Ak?1) ? S ( Ak ) ．