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2008年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学试题及解答

发布时间:

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)(北京卷)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 9 页,共 150 分.考试时间 120 分钟.考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡
皮擦干净后,再选涂其他答案.不能答在试卷上.

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项.
? ? 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x| ?2≤ x≤ 3 , B ? ?x | x ? ?1或x ? 4? ,那么集合

A ??U B? 等于( )

A.?x | ?2≤ x ? 4?

B.?x | x ≤3或x≥4?

C.?x | ?2≤ x ? ?1? D.?x | ?1≤ x ≤3?

2.若 a

?

20.5 , b

?

logπ

3,c

?

log2

sin

2π 5

,则(



A. a ? b ? c B. b ? a ? c

C. c ? a ? b

D. b ? c ? a

3.“函数 f (x)(x ? R) 存在反函数”是“函数 f (x) 在 R 上为增函数”的( )

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.若点 P 到直线 x ? ?1 的距离比它到点 (2,0) 的距离小 1,则点 P 的轨迹为( )

A.圆

B.椭圆 C.双曲线

D.抛物线

?x ? y ?1≥0,

5.若实数

x,y

满足

? ?

x

?

y



0,

则 z ? 3x?2y 的最小值是(



? ?

x



0,

A.0

B.1

C. 3

D.9

? ? 6.已知数列 an 对任意的 p,q ? N* 满足 ap?q ? ap ? aq ,且 a2 ? ?6 ,那么 a10 等于( )

A. ?165

B. ?33 C. ?30 D. ?21

7.过直线 y ? x 上的一点作圆 (x ? 5)2 ? ( y ?1)2 ? 2 的两条切线 l1,l2 ,当直线 l1,l2 关于

y ? x 对称时,它们之间的夹角为( )

A. 30

B. 45

C. 60

D. 90

8.如图,动点 P 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的对角线 BD1 上.过点 P 作垂直于平面

BB1D1D 的直线,与正方体表面相交于 M,N .设 BP ?x ,MN ? y ,则函数 y ? f (x) 的

图象大致是( )

D1

C1

A1

B1

D

PN C

M

A

B

y

y

y

y

O

xO

xO

xO

x

A.

B.

C.

D.

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)(北京卷)

第Ⅱ卷(共 110 分)
注意事项:
1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上.

9.已知 (a ? i)2 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,那么实数 a ?



10.已知向量 a 与 b 的夹角为120 ,且 a ? b ? 4 ,那么 b (2a ? b) 的值为



11.若

? ??

x2

?

1 x3

n
? ? ?

展开式的各项系数之和为

32,则

n

?



.(用数字作答)

,其展开式中的常数项

12.如图,函数 f (x) 的图象是折线段 ABC ,其中 A,B,C 的坐标分别为 (0,4),(2,0),(6,4) ,

则 f ( f (0)) ?



lim f (1? ?x) ? f (1) ?

?x?0

?x

.(用数字作答)

y

4A

C

3

2

1B O 1 234 5 6 x

13.已知函数

f

(x)

?

x2

? cos

x

,对于

????

π 2

,π 2

? ??

上的任意

x1,x2

,有如下条件:

① x1 ? x2 ; ② x12 ? x22 ; ③ x1 ? x2 .

其中能使 f (x1) ? f (x2 ) 恒成立的条件序号是



14.某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第 k 棵树种植在

点 Pk (xk,yk ) 处,其中 x1 ? 1 , y1 ? 1 ,当 k ≥ 2 时,

? ??xk

?

xk ?1

?1? 5 ???T

? ??

k

?1 5

? ??

?

T

? ??

k

? 5

2

??????,

?

? ??

yk

?

yk ?1

?T

? ??

k

?1 5

? ??

?T

? ??

k

? 5

2

???.

T (a) 表示非负实数 a 的整数部分,例如T (2.6) ? 2 ,T (0.2) ? 0 .

按此方案,第 6 棵树种植点的坐标应为

;第 2008 棵树种植点的坐标应





三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

15.(本小题共 13 分)

已知函数 f (x) ? sin 2 ?x ?

3

sin

?

xsin

??? ? x

?

π 2

? ??



?

?

0

)的最小正周期为

π



(Ⅰ)求? 的值;

(Ⅱ)求函数

f

(x)

在区间

???0,23π

? ??

上的取值范围.

16.(本小题共 14 分)

如图,在三棱锥 P ? ABC 中,AC ? BC ? 2,?ACB ? 90 ,AP ? BP ? AB ,PC ? AC .

(Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ?C 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 APB 的距离.

P

A

B

C

17.(本小题共 13 分)
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少
有一名志愿者.
(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率;
(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;
(Ⅲ)设随机变量? 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求? 的分布列.

18.(本小题共 13 分)

已知函数

f

(x)

?

2x ?b (x ?1)2

,求导函数

f

?(x) ,并确定

f

(x)

的单调区间.

19.(本小题共 14 分)
已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x2 ? 3y2 ? 4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1. (Ⅰ)当直线 BD 过点 (0,1) 时,求直线 AC 的方程;
(Ⅱ)当 ?ABC ? 60 时,求菱形 ABCD 面积的最大值.

20.(本小题共 13 分)
对于每项均是正整数的数列 A:a1,a2, ,an ,定义变换T1 ,T1 将数列 A 变换成数列 T1( A):n,a1 ?1,a2 ?1, ,an ?1 . 对于每项均是非负整数的数列 B:b1,b2, ,bm ,定义变换T2 ,T2 将数列 B 各项从大到小 排列,然后去掉所有为零的项,得到数列T2 (B) ; 又定义 S (B) ? 2(b1 ? 2b2 ? ? mbm ) ? b12 ? b22 ? ? bm2 . 设 A0 是每项均为正整数的有穷数列,令 Ak?1 ? T2 (T1( Ak ))(k ? 0,1,2, ) . (Ⅰ)如果数列 A0 为 5,3,2,写出数列 A1,A2 ; (Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列 A ,证明 S(T1( A)) ? S( A) ;
(Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0 ,存在正整数 K ,当 k ≥ K 时,
S ( Ak?1) ? S ( Ak ) .

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)(北京卷)参考答案

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

1.D 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

9. ?1

10. 0

11.5 10

12. 2 ?2

13.②

14. (1,2) ( 3,4 0 2 )

8.B

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(共 13 分)

解:(Ⅰ) f (x) ? 1? cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 3 sin 2?x ? 1 cos 2?x ? 1

2

2

2

2

2

?

sin

? ??

2?

x

?

π 6

? ??

?

1 2



因为函数 f (x) 的最小正周期为 π ,且? ? 0 ,

所以 2π ? π ,解得? ? 1. 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

f

(x)

?

sin

???2 x

?

π 6

? ??

?

1 2



因为 0≤ x ≤ 2π ,
3

所以 ? π ≤ 2x ? π ≤ 7π ,

6

66

所以

?

1 2



sin

? ??

2

x

?

π 6

? ??

≤1



因此

0



sin

? ??

2x

?

π 6

? ??

?

1 2



3 2

,即

f

(x)

的取值范围为

???0,32

? ??



16.(共 14 分) 解法一:
(Ⅰ)取 AB 中点 D ,连结 PD,CD . AP ? BP ,
?PD ? AB. AC ? BC ,
?CD ? AB .

P

D

A

B

C

PD CD ? D , ?AB ? 平面 PCD.
PC ? 平面 PCD, ?PC ? AB . (Ⅱ) AC ? BC , AP ? BP , ?△APC ≌△BPC . 又 PC ? AC , ?PC ? BC .

P

E

A

B

C

又 ?ACB ? 90 ,即 AC ? BC ,且 AC PC ? C ,

?BC ?平面 PAC . 取 AP 中点 E .连结 BE,CE .
AB ? BP ,?BE ? AP . EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影, ?CE ? AP . ??BEC 是二面角 B ? AP ?C 的平面角.

在 △BCE 中, ?BCE ? 90 , BC ? 2 , BE ? 3 AB ? 6 , 2

?sin ?BEC ? BC ? 6 . BE 3

?二面角 B ? AP ?C 的大小为 arcsin 6 . 3

P

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 AB ?平面 PCD ,

H

?平面 APB ? 平面 PCD. 过 C 作 CH ? PD ,垂足为 H .

D

A

B

平面 APB 平面 PCD ? PD ,

?CH ? 平面 APB .

C

?CH 的长即为点 C 到平面 APB 的距离.

由(Ⅰ)知 PC ? AB ,又 PC ? AC ,且 AB AC ? A,

?PC ?平面 ABC .

CD ? 平面 ABC ,

?PC ? CD .

在 Rt△PCD 中, CD ? 1 AB ? 2 , PD ? 3 PB ? 6 ,

2

2

?PC ? PD2 ? CD2 ? 2 .

?CH ? PC CD ? 2 3 .

PD

3

?点 C 到平面 APB 的距离为 2 3 . 3
解法二:
(Ⅰ) AC ? BC , AP ? BP , ?△APC ≌△BPC . 又 PC ? AC , ?PC ? BC .
AC BC ? C , ?PC ?平面 ABC .
AB ?平面 ABC , ?PC ? AB .
(Ⅱ)如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz .

则 C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0) .
设 P(0,0,t) .
PB ? AB ? 2 2 ,
?t ? 2 , P(0,0,2) . 取 AP 中点 E ,连结 BE,CE .
AC ? PC , AB ? BP , ?CE ? AP , BE ? AP . ??BEC 是二面角 B ? AP ?C 的平面角.
E(0,1,1) , EC ? (0,?1,?1) , EB ? (2,?1,?1) ,

z P

E

H

y

A

C

?cos ?BEC ? EC EB ? 2 ? 3 . EC EB 2 6 3

x B

?二面角 B ? AP ?C 的大小为 arccos 3 . 3
(Ⅲ) AC ? BC ? PC , ?C 在平面 APB 内的射影为正 △APB 的中心 H ,且 CH 的长为点 C 到平面 APB 的距离.
如(Ⅱ)建立空间直角坐标系 C ? xyz .

BH ? 2HE ,

?



H

的坐标为

? ??

2 3

,2 3

,2 3

? ??



? CH ? 2 3 . 3

?点 C 到平面 APB 的距离为 2 3 . 3

17.(共 13 分)

解:(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加

A 岗位服务为事件 EA ,那么 P(EA ) ?

A33 C52 A44

?

1 40



即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 1 . 40

(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件

E ,那么 P(E)

?

A44 C52 A44

?1 10



所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P(E) ? 1? P(E) ? 9 . 10

(Ⅲ)随机变量? 可能取的值为 1,2.事件“? ? 2 ”是指有两人同时参加 A 岗位服务,

则 P(?

? 2) ?

C52 A33 C53 A44

?

1 4



所以 P(? ? 1) ? 1? P(? ? 2) ? 3 ,? 的分布列是 4

?

1

3

3

1

P

4

4

18.(共 13 分)

解:

f

?( x)

?

2( x

? 1) 2

? (2x ? b) (x ?1)4

2( x

?1)

?2x ? 2b ? 2 ? (x ?1)3

?

?

2[

x (

? (b ? x ?1)3

1)]



令 f ?(x) ? 0 ,得 x ? b ?1.

当 b ?1?1,即 b ? 2 时, f ?(x) 的变化情况如下表:

x (??,b ?1) b ?1 (b ?1,1) (1,? ?)

f ?(x)

?

0

?

?

当 b ?1 ?1,即 b ? 2 时, f ?(x) 的变化情况如下表:

x (??,1) (1,b ?1) b ?1 (b ?1,? ?)

f ?(x) ?

?

0

?

所以,当 b ? 2 时,函数 f (x) 在 (??,b ?1) 上单调递减,在 (b ?1,1) 上单调递增,

在 (1,? ?) 上单调递减.

当 b ? 2 时,函数 f (x) 在 (??,1) 上单调递减,在 (1,b ?1) 上单调递增,在 (b ?1,? ?) 上
单调递减.
当 b ?1 ?1,即 b ? 2 时, f (x) ? 2 ,所以函数 f (x) 在 (??,1) 上单调递减,在 (1,? ?) x ?1
上单调递减. 19.(共 14 分)
解:(Ⅰ)由题意得直线 BD 的方程为 y ? x ?1.
因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD . 于是可设直线 AC 的方程为 y ? ?x ? n .



?x2 ?

?

3y2

?

4,得

4x2

?

6nx

?

3n2

?

4

?

0



?y ? ?x ? n

因为 A,C 在椭圆上,

所以 ? ? ?12n2 ? 64 ? 0 ,解得 ? 4 3 ? n ? 4 3 .

3

3

设 A,C 两点坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2 ) ,



x1

?

x2

?

3n 2



x1x2

?

3n2 ? 4

4



y1

?

? x1

?

n



y2

?

? x2

?

n.

所以

y1

?

y2

?

n 2



所以

AC

的中点坐标为

? ??

3n 4

,n 4

? ??



由四边形

ABCD

为菱形可知,点

? ??

3n 4

,n 4

? ??

在直线

y

?

x

?1

上,

所以 n ? 3n ?1,解得 n ? ?2 . 44

所以直线 AC 的方程为 y ? ?x ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 .

(Ⅱ)因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 60 , 所以 AB ? BC ? CA .

所以菱形 ABCD 的面积 S ? 3 AC 2 . 2

由(Ⅰ)可得

AC

2

? (x1 ? x2 )2

? ( y1 ?

y2 )2

?

?3n2 ?16 , 2

所以 S ?

3 4

(?3n2

? ?16) ???

?

43 3

?

n

?

43 3

? ???



所以当 n ? 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 .
20.(共 13 分)
(Ⅰ)解: A0:5,3,2 ,

T1( A0 ):3,4,2,1 ,

A1 ? T2 (T1( A0 )):4,3,2,1;

T1( A1):4,3,2,1,0 ,

A2 ? T2 (T1( A1)):4,3,2,1.

(Ⅱ)证明:设每项均是正整数的有穷数列 A 为 a1,a2, ,an ,

则 T1( A) 为 n , a1 ?1, a2 ?1 , , an ?1,
从而
S(T1( A)) ? 2[n ? 2(a1 ?1) ? 3(a2 ?1) ? ? (n ?1)(an ?1)]

?n2 ? (a1 ?1)2 ? (a2 ?1)2 ? ? (an ?1)2 .

又 S ( A) ? 2(a1 ? 2a2 ? ? nan ) ? a12 ? a22 ? ? an2 ,

所以 S(T1( A)) ? S( A) ? 2[n ? 2 ? 3 ? ? (n ?1)] ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ?n2 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ? n ? ?n(n ?1) ? n2 ? n ? 0 , 故 S(T1( A)) ? S( A) . (Ⅲ)证明:设 A 是每项均为非负整数的数列 a1,a2, ,an .
当存在1≤ i ? j ≤ n ,使得 ai ≤aj 时,交换数列 A 的第 i 项与第 j 项得到数列 B , 则 S(B) ? S( A) ? 2(ia j ? jai ? iai ? ja j ) ? 2(i ? j)(aj ? ai ) ≤0 . 当存在1≤ m ? n ,使得 am?1 ? am?2 ? ? an ? 0 时,若记数列 a1,a2, ,am 为 C ,
则 S(C) ? S(A) .
所以 S(T2 ( A)) ≤ S( A) .
从而对于任意给定的数列 A0 ,由 Ak?1 ? T2 (T1( Ak ))(k ? 0,1,2, )
可知 S ( Ak?1) ≤ S (T1( Ak )) . 又由(Ⅱ)可知 S(T1( Ak )) ? S( Ak ) ,所以 S ( Ak?1) ≤ S ( Ak ) . 即对于 k ? N ,要么有 S ( Ak?1) ? S ( Ak ) ,要么有 S ( Ak?1) ≤ S ( Ak ) ?1.
因为 S ( Ak ) 是大于 2 的整数,所以经过有限步后,必有 S( Ak ) ? S( Ak?1) ? S( Ak?2 ) ? .
即存在正整数 K ,当 k ≥ K 时, S( Ak?1) ? S ( Ak ) .



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